若干最優(yōu)控制問題的有限元方法結題摘要

本課題研究若干具有重要應用背景的偏微分方程最優(yōu)控制問題的有限元方法，重點研究對流占優(yōu)方程最優(yōu)控制、流體控制、控制或觀測發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制、多尺度最優(yōu)控制及非線性最優(yōu)控制問題，研究這些最優(yōu)控制問題數(shù)值方法的先驗及后驗誤差估計、自適應有限元計算及應用等。我們主要完成了下述幾方面的工作：(1)以數(shù)值天氣預報為背景，研究對流占優(yōu)最優(yōu)控制及流體系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的數(shù)值計算，在對流擴散方程最優(yōu)控制問題的不連續(xù)Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最優(yōu)控制問題的后驗誤差估計和高效自適應有限元算法以及Stokes方程特征值問題等方面取得了有意義的進展。(2)以地質災害預測的數(shù)值計算為背景，研究相關最優(yōu)控制問題。我們研究了控制或觀測發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制問題及數(shù)值計算，系統(tǒng)分析了此類問題的正則性，得到了最優(yōu)誤差估計。我們還研究了橢圓方程邊界觀測和點態(tài)觀測的參數(shù)反演問題、反柯西問題及非線性最優(yōu)控制問題，針對問題的特殊性，構造了有限元、混合元、及帶有奇異解的混合格式，分析了解的正則性及先驗和后驗誤差估計，并在此基礎上構造了高效自適應有限元算法。(3)以復合材料最優(yōu)設計為背景，研究最優(yōu)控制問題的多尺度計算。我們研究了控制受限的小周期振動系數(shù)橢圓方程最優(yōu)控制問題的多尺度漸近分析和有限元計算，首次得到最優(yōu)誤差估計。在此基礎上我們進一步研究了復合材料設計的多尺度有限元計算，設計了新的算法，進行了誤差分析，并得到了合理的數(shù)值實驗結果。此外，我們還研究了小周期振動系數(shù)的橢圓方程最優(yōu)控制問題的多尺度混合元計算，得到了最優(yōu)誤差估計。(4)針對各類最優(yōu)控制問題的實際需要，我們繼續(xù)研究最優(yōu)控制問題及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收斂分析等，在最優(yōu)控制多水平校正有限元方法方面取得突破，為進一步研究打下了良好基礎。在上述研究基礎上，我們出版專著一本，發(fā)表學術論文16篇，SCI收錄13篇，其中4篇論文發(fā)表在SIAM Numer. Anal. 等本學科國際頂尖雜志上。有關工作得到國內外同行關注，被多篇論文引用并引起相關后續(xù)研究工作。 2100433B

本項目擬研究若干具有重要應用背景的偏微分方程最優(yōu)控制問題的有限元方法。我們將重點研究邊界控制、狀態(tài)受限控制、對流占優(yōu)方程最優(yōu)控制、參數(shù)估計問題及一些非線性最優(yōu)控制問題，這些問題不僅在大氣污染控制、地質災害預測、石油勘探與開采及材料設計等實際應用領域有十分廣泛的應用前景，而且在偏微分方程、最優(yōu)控制、有限元分析等數(shù)學理論方面也有重要的理論意義。我們將針對上述各類最優(yōu)控制問題的特殊性，構造適用于不同問題的有限元、混合元、DG格式及優(yōu)化算法，研究算法的誤差（包括先驗誤差估計和各類后驗誤差估計），并在深入研究誤差分析的基礎上，進一步發(fā)展和完善偏微分方程最優(yōu)控制問題有限元后驗誤差估計技術，發(fā)展自適應有限元算法及應用軟件，提高計算效率。在理論分析和數(shù)值實驗基礎上，我們將努力推動這些新技術、新算法的應用，將研究結果應用于地質災害預測、大氣污染控制等實際應用問題。

混合有限元方法可同時求解位移和應力，是數(shù)值求解線彈性問題的強有力工具。相對于標準有限元方法，混合有限元方法由于在計算中涉及到更多的未知量而使計算規(guī)模增大，因此如何構造混合元離散問題可靠且有效的后驗誤差估計子，優(yōu)化網(wǎng)格加密策略，實現(xiàn)問題的高效自適應計算具有重要的應用價值。 本項目主要研究了線彈性問題的對稱型混合有限元方法及其離散問題的后驗誤差估計。首先我們構造了求解線彈性問題的一族對稱型非協(xié)調混合有限元，這族元的應力和位移有限元空間具有很好的匹配性，在形式上關于空間維數(shù)具有一致性，可以推廣到任意維問題。我們證明了混合元離散問題解的存在唯一性并給出了最優(yōu)的先驗誤差估計。對二維、三維問題進行了數(shù)值實驗，從數(shù)值上驗證了所構造混合元的最優(yōu)收斂性和超收斂性,并且從理論上證明了這族元的超收斂性。其次我們研究了二維和三維線彈性問題對稱型協(xié)調混合元方法的后驗誤差估計。利用應力誤差的Helmholtz正交分解，構造了自適應求解離散問題的殘量型后驗誤差估計子，證明了估計子的可靠性和有效性。通過對不同邊值問題的自適應數(shù)值計算，驗證了所構造后驗誤差估計子的可靠性和有效性，數(shù)值計算表明我們所構造的自適應算法具有最優(yōu)的收斂性。最后我們研究了對稱型非協(xié)調混合元離散問題的后驗誤差估計。本項目現(xiàn)已發(fā)表SCI檢索論文2篇。 需要特別指出的是我們最近幾年所得到的關于線彈性問題對稱型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人員的關注，被用于求解一些工程問題并取得了比較好的計算效果，接下來我們將深入研究對稱型混合元方法在實際工程計算中的應用。 2100433B

以后驗誤差估計和自適應網(wǎng)格改進技術為核心的自適應方法已被廣泛用于有限元離散問題的數(shù)值求解中，并表現(xiàn)出色；可同時逼近位移與應力的混合有限元方法是數(shù)值求解線彈性問題的強有力工具。本項目主要研究線彈性問題的自適應對稱型混合有限元方法。我們首先研究三維線彈性問題對稱型協(xié)調有限元方法的后驗誤差估計。利用三維彈性序列給出應力的Helmholtz分解，據(jù)此構造殘量型的后驗誤差估計子并證明其可靠性；利用對稱型混合元和四階問題有限元之間的關系，構造性地證明估計子的有效性。其次研究線彈性問題對稱型非協(xié)調混合元方法的殘量型后驗誤差估計。應用Helmholtz分解把應力誤差分解為協(xié)調誤差和非協(xié)調誤差兩部分，然后分別估計得到誤差估計子的可靠性。最后利用所構造的后驗誤差估計子設計求解線彈性問題的對稱型混合元自適應算法，研究擬正交性、離散Helmholtz分解、離散上界等重要性質，證明算法的收斂性和最優(yōu)性。

非線性最優(yōu)控制簡介

解決最優(yōu)控制問題最大的難點在于HJB方程的求解，只有當系統(tǒng)模型是低階線性模型時，才有可能給出具有顯式表達式的最優(yōu)控制解。在實際系統(tǒng)里，乃至自然界中，幾乎絕大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的系統(tǒng)，想得到具有顯式表達式的控制量幾乎不可能，這就需要借助計算機，以及選擇合適的最優(yōu)的數(shù)值解法，以得到最優(yōu)解。一般的，最優(yōu)控制問題的求解方法為數(shù)值算法。極大值原理和動態(tài)規(guī)劃從理論方面研究了最優(yōu)控制所應遵循的方程和條件，而最優(yōu)控制的數(shù)值算法則是從計算方面來確定最優(yōu)控制量的具體方法和步驟。

評價最優(yōu)控制數(shù)值算法優(yōu)劣的三個主要方面是算法的收斂性、計算復雜性以及數(shù)值穩(wěn)定性。算法的收斂性是保證計算過程能達到正確結果的前提。算法的計算復雜性也尤其重要，這對實時控制具有特別重要的意義。一個好的算法應使計算量和存儲量盡可能小，以便能由盡可能簡單的計算機來實現(xiàn)計算。好的算法還應具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，即計算的結果對初始數(shù)據(jù)和運算過程的誤差不能過于敏感，同時具有處理病態(tài)問題的能力。典型的最優(yōu)控制數(shù)值算法包括:求解由極大值原理導出的微分或差分方程的兩點邊值問題的各種算法，對動態(tài)規(guī)劃中的貝爾曼方程進行數(shù)值求解_的算法，求解線性二次型最優(yōu)控制問題的黎卡提方程的各種算法，處理控制或狀態(tài)受約束問題的懲罰函數(shù)法，在控制策略的函數(shù)空間中利用搜索尋優(yōu)或梯度尋優(yōu)技術和牛頓一拉夫森方法等直接求解非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的算法等。其中，針對非線性系統(tǒng)的開環(huán)最優(yōu)控制問題和線性二次型最優(yōu)控制問題展開的數(shù)值算法研究尤多。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題間接求解法

在間接法中，我們依靠最小值原理和其它一些必要條件得到一個兩點邊值問題，然后通過數(shù)值求解該問題得到相應的最優(yōu)軌跡。在幾種基于打靶法求解兩點邊值問題的方法中，多重打靶法是最引人矚目的。而其它的一些間接數(shù)值求解法，比如伴隨方程的向前一向后積分法、函數(shù)空間梯度法等，在過去的幾年中應用并不十分廣泛。間接法的主要優(yōu)點是解的精度高，同時方法保證了求解滿足最優(yōu)條件。然而間接法常常會遇到比較嚴重的解的收斂性問題。如果在求解中，沒有關于系統(tǒng)初始值的一個好的選取，或是沒有關于約束和非約束下系統(tǒng)運動軌跡的先驗知識，收斂過程可能需要花費很長的計算時間，甚至可能根本無法找到最優(yōu)解。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題直接求解法

在直接法中，連續(xù)性的最優(yōu)控制問題通過參數(shù)化的過程被轉化為了一個有限維的優(yōu)化問題。轉化后的問題可以通過一些已有的比較成熟的約束優(yōu)化算法進行數(shù)值求解。相對于間接法而言，直接法無需考慮最優(yōu)化條件，而是直接求解問題本身。直接法不易受到收斂問題的影響，但估計的精度不如間接法。最優(yōu)的必要條件不是直接滿足的，而且伴隨量的估計精度有時也會很差?，F(xiàn)在比較常用的幾種直接求解方法包括最優(yōu)參數(shù)控制法，有限差分方法，配點法，微分包含方法和偽譜方法。在最優(yōu)參數(shù)控制法中，控制量被單獨參數(shù)化，同時數(shù)值積分方法被用來求解微分方程;在有限差分方法中，原微分方程和邊界條件被近似為有限差分方程組:在配點法中，狀態(tài)量和控制量同時被參數(shù)化，在各個節(jié)點處，局部分段多項式被用來近似微分方程;微分包含方法只是將狀態(tài)量參數(shù)化，并使用由速端曲線定義的狀態(tài)變化率;在偽譜方法中，通過全局多項式將狀態(tài)量和控制量同時參數(shù)化，積分方程和微分方程通過求積法被近似。配點法和偽譜方法的一個重要的特點就是伴隨量的相合估計。