隨機振動研究內容

主要有以下兩方面：

①激勵-響應關系 前已提及，隨機振動問題中的激勵-響應關系只能描述為它們的統(tǒng)計特性之間的關系。常系數(shù)線性系統(tǒng)在平穩(wěn)隨機激勵X作用下，產生平穩(wěn)隨機響應Y。這時，關于平均值有如下關系：

關于功率譜，有如下關系：

式中

是系統(tǒng)的頻率特性。上述關系式既簡單又實用，這正是功率譜法的優(yōu)點鎖在。式（1）只用到系統(tǒng)的幅頻特性，適用于已知系統(tǒng)特性，從輸入（或輸出）求輸出（或輸入）。式（2）適用于從實驗確定頻率的特性。功率譜雖然只提供了隨機過程的頻域描述，但知道功率譜后，就不難求出相關函數(shù)與均方值。如果輸入是平均值為零的正態(tài)過程，則輸出也一樣。這時，輸出的均方值也就完全確定了輸出的統(tǒng)計特性。

②可靠性 在系統(tǒng)可靠性分析中用到的隨機響應統(tǒng)計特性還有越界概率和峰值分布。越界概率是指隨機響應穿越某個界限水平次數(shù)的概率，峰值分布是指響應超越某個水平的峰數(shù)（或谷數(shù)）的概率。計算這些概率還需要知道隨機響應過程及其導數(shù)的聯(lián)合概率分布。

隨機振動通常要用概率論的方法描述。概率反映隨機事件出現(xiàn)可能性的大小。將隨機事件的結果用數(shù)量描述，就得出隨機變量的概念，因為它描述隨機變量的發(fā)展過程，故又稱隨機過程，而隨機振動只是隨機過程的一類實例。

假設在一定條件下重復某個隨機試驗（如汽車道路試驗），得到系統(tǒng)響應（如司機座的鉛垂加速度）的一系列時變歷程記錄（見圖）。其中每個記錄

都可看作一個樣本，而大量樣本構成一個集合，記為X（t），用它代表這一隨機過程。

對于隨機現(xiàn)象，人們感興趣的往往不是各個樣本本身，而是從這些樣本總體得出的統(tǒng)計特性。例如，以隨機函數(shù)X在瞬時t取值不大于x的概率，可定義一維概率分布函數(shù)：

并由此導出一維概率密度函數(shù)：

類似地，可定義多維概率分布與密度函數(shù)。從隨機函數(shù)的概率密度函數(shù)又可確定各種數(shù)字特征；例如，各次矩可以定義如下：

記號E{ }表述集合平均。可以看出，一次矩即隨機函數(shù)的平均值

二次矩即均方值

而二次中心矩

稱為方差，它的平方根

常稱為標準差。平均值反映過程的總傾向；均方值往往與平均能量相聯(lián)系；方差則可用來表征隨機變量分散程度。

平均特性可區(qū)分為集合平均和時間平均。前者是對集合求平均，后者是對單個樣本來求的。根據(jù)統(tǒng)計特性是否隨采樣時間原點的選取而變化，隨機過程可分為非平穩(wěn)過程和平穩(wěn)過程。根據(jù)集合平均特性是否等同于時間平均特性，隨機過程又可分為遍歷的和非遍歷的。遍歷的隨機過程一定是平穩(wěn)的；反之則不一定。

在各種平均特性中，最重要的是相關函數(shù)和功率譜密度。一個隨機振動又可以看作大量數(shù)目的具有隨機振幅與相位的諧和振動之和。它的總功率就等于各個諧和分量的功率之和。人們感興趣的是找出這種功率如何按頻率分布。平穩(wěn)隨機函數(shù)

X的自相關函數(shù)

定義為乘積

的集合平均值。它是時延

可得到功率譜密度（簡稱自譜）的概率，它恰好描述隨機過程的平均功率按頻率的分布規(guī)律。按定義有：

由逆諧和變換，得：

當

由此可見，

正是X關于頻率f的均方譜密度.

實用上，常用功率譜的形狀作為隨機過程的標志，例如在隨機振動試驗中，各種基準譜都是按譜形來規(guī)定的。人們按譜形將偏于兩個極端的情況分為稱為窄帶過程和寬帶過程。窄帶過程是指它的功率譜具有尖峰特性，并只有在尖峰附近的一個窄帶內才取有意義的量級。典型的例子是隨機信號通過窄帶濾波器后所得的結果。相反地，寬帶過程的功率譜在相當寬（帶寬至少與其中心頻率有相同的數(shù)量級）的頻帶上取有意義的量級。最極端的情形是白噪聲，它的譜密度是均勻的并有無限的帶寬。白噪聲只是一種數(shù)學抽象，因為在無限的帶寬上都有有限的功率意味著有無限的總功率。不過，當隨機激勵的頻帶足夠寬，以致將系統(tǒng)所有的固有頻率覆蓋無遺時，把該激勵視為白噪聲是可取得，這樣做數(shù)學上便于處理。

自相關和自譜是從同一個隨機過程得到的統(tǒng)計特性，類似地可以定義兩個不同隨機過程X和Y之間的互相關函數(shù)

與互譜

從互譜還可定義相干函數(shù)：

互譜和相干函數(shù)在實驗確定系統(tǒng)頻率特性以及確定振源和振動傳遞路徑方面有獨特的作用。

隨機過程中的一類特別重要的過程，稱為正態(tài)過程，亦稱高斯過程。平穩(wěn)正態(tài)過程的一維概率密度函數(shù)可表示為：

正態(tài)過程有以下特點：許多自然現(xiàn)象可以用正態(tài)過程近似地描述；正態(tài)過程的線性變換仍然是正態(tài)過程；只需知道正態(tài)過程的一次鉅與二次鉅，就可確定概率密度。這些特點給隨機振動研究帶來很大方便。首先，隨機振動的許多激振源（如大氣湍流、海浪、路面等）都可以看作正態(tài)過程。其次，從第二點可知，對于常系數(shù)線性系統(tǒng)，當輸入是正態(tài)過程，輸出也一定是正態(tài)過程，只要確定它們的平均值和方差，就可確定它們的全部統(tǒng)計特性。

1、詞條作者：陳濱．《中國大百科全書》74卷（第一版）力學 詞條：隨機振動：中國大百科全書出版社，1987 ：455-456頁．

隨著現(xiàn)代試驗與計算技術的迅速發(fā)展，隨機振動理論在土木、機械、航空航天、船舶和海洋工程等領域獲得了日益廣泛的應用。近20年來，我國在隨機振動領域作出了多項具有國際影響的突破性成果，包括虛擬激勵法、復模態(tài)理論、FPK方程的哈密頓理論體系和非線性隨機系統(tǒng)的密度演化理論等方面的貢獻。本書是中國振動工程學會隨機振動專業(yè)委員會組織編撰的、擬每四年出版一次的《隨機振動理論與應用新進展》系列文獻性文集的第一輯。論文分別由我國作出上述突破性成果的學者和活躍在隨機振動領域的骨干專家撰寫。

《車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機振動——理論與工程應用》是國家自然科學基金資助項目（50678150、51008250、51308470）和教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃（NCET-10-0701）的研究成果。《車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機振動——理論與工程應用》針對車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機振動的復雜性，將協(xié)方差分析法、攝動法和虛擬激勵法引入時變系統(tǒng)的隨機振動研究中。

《車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機振動——理論與工程應用》共分8章，第1章總結了隨機振動理論的研究現(xiàn)狀及車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機振動的研究現(xiàn)狀，對隨機參數(shù)結構動力學的研究現(xiàn)狀也做了簡單回顧；第2章扼要介紹隨機振動基礎知識；第3、4章介紹協(xié)方差分析法在車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機振動研究中的應用；第5章將隨機攝動法引入車輛-橋梁時變系統(tǒng)隨機參數(shù)結構振動的研究；第6章介紹虛擬激勵法的基礎知識外；第7、8章將虛擬激勵法引入車輛-橋梁時變系統(tǒng)的隨機振動研究 。