誤差分析誤差分析

在實際系統(tǒng)的數(shù)值模擬或建模中，隨著模型參數(shù)的變化，誤差分析與模型輸出的變化有關(guān)。

例如，在作為兩個變量

在數(shù)值分析中，誤差分析包括前向誤差分析和后向誤差分析。

誤差分析前向誤差分析

前向誤差分析涉及函數(shù)

誤差分析后向誤差分析

后向誤差分析涉及近似函數(shù)

后向誤差分析，其理論由詹姆斯·威爾金森（James H. Wilkinson）提出和推廣，可用于確定實現(xiàn)數(shù)字函數(shù)的算法在數(shù)值是否穩(wěn)定。方法表明，盡管由于舍入誤差而導(dǎo)致的計算結(jié)果不完全正確，但這是一個精確的解決方案。 如果所需的擾動小，按照輸入數(shù)據(jù)的不確定性的順序，則結(jié)果在某種意義上與數(shù)據(jù)“應(yīng)得的”一樣準(zhǔn)確。 然后將算法定義為向后穩(wěn)定。 穩(wěn)定性是對給定數(shù)值程序的舍入誤差敏感度的量度;；相比之下，給定問題的函數(shù)的條件數(shù)表示函數(shù)對其輸入中的小擾動的固有靈敏度，并且獨(dú)立于用于解決問題的實現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)中，誤差分析是對解決問題可能存在的錯誤或不確定性的種類和數(shù)量的研究。 這個問題在數(shù)值分析和統(tǒng)計等應(yīng)用領(lǐng)域尤為突出。

誤差分析全球定位系統(tǒng)

使用全球定位系統(tǒng)計算的誤差分析對于了解GPS的工作原理以及了解應(yīng)該預(yù)期的幅度誤差很重要。 全球定位系統(tǒng)對接收機(jī)時鐘誤差和其他影響進(jìn)行修正，但仍然存在未糾正的殘差錯誤。 全球定位系統(tǒng)（GPS）由美國國防部（DOD）于七十年代創(chuàng)建。 它已經(jīng)被美軍和公眾廣泛地用于導(dǎo)航。

誤差分析分子動力學(xué)模擬

在分子動力學(xué)（MD）模擬中，由于相空間或不經(jīng)常發(fā)生的事件的采樣不足，存在誤差，這導(dǎo)致了測量中隨機(jī)波動引起的統(tǒng)計誤差。

對于波動特性A的一系列M測量，平均值為：

當(dāng)這些測量是獨(dú)立的時候，平均值的方差是：

其中

然后我們可以使用自動相關(guān)函數(shù)來估計誤差。

誤差分析科學(xué)數(shù)據(jù)驗證

測量通常具有少量的誤差，同一項目的重復(fù)測量通常會導(dǎo)致讀數(shù)略有不同。 可以分析這些差異，并遵循一定的已知數(shù)學(xué)和統(tǒng)計特性。一般來說，誤差分析通常不足以證明數(shù)據(jù)被偽造或制造，但它可能提供必要的支持證據(jù)，以證實懷疑不當(dāng)行為。

物理化學(xué)以測量物理量為基本內(nèi)容，并對所測得數(shù)據(jù)加以合理的處理，得出某些重要的規(guī)律，從而研究體系的物理化學(xué)性質(zhì)與化學(xué)反應(yīng)間的關(guān)系。

然而，在物理量的實際測量中，無論是直接測量的量，還是間接測量的量（由直接測量的量通過公式計算而得出的量），由于測量儀器、方法以及外界條件的影響等因素的限制，使得測量值與真實值（或?qū)嶒炂骄担┲g存在著一個差值，這稱之為測量誤差。

研究誤差的目的是：在一定的條件下得到更接進(jìn)于真實值的最佳測量結(jié)果；確定結(jié)果的不確定程度；據(jù)預(yù)先所需結(jié)果，選擇合理的實驗儀器、實驗條件和方法，以降低成本和縮短實驗時間。因此我們除了認(rèn)真仔細(xì)地做實驗外，還要有正確表達(dá)實驗結(jié)果的能力，這二者是同等重要的。僅報告結(jié)果，而不同時指出結(jié)果的不確定程度的實驗是無價值的，所以我們要有正確的誤差概念。

誤差分析法是一個量的近似值與精確值之差稱為誤差或絕對誤差。絕對誤差與精確值之比稱為相對誤差，它反映近似值的近似程度。誤差分析本來是為整理天文學(xué)、測量學(xué)等方面的觀測值的需要而產(chǎn)生的。但是隨著電子計算機(jī)的發(fā)展，使大規(guī)模的計算成為可能。所以在現(xiàn)代數(shù)值計算中，對誤差的大小及傳播進(jìn)行分析已成為絕對必要的工作。這是誤差分析的中心研究課題。誤差按其來源可分為模型誤差、測量誤差、截斷誤差和舍入誤差。由模型的局限性引起的誤差稱為模型誤差。

由于測量工具不準(zhǔn)確和測量時由隨機(jī)干擾引起的誤差叫做測量誤差。截斷誤差是計算過程中，使用的近似計算公式與原表達(dá)式之間的誤差。舍入誤差是在計算步驟中，將所得數(shù)值舍入成某有限位數(shù)所產(chǎn)生的誤差。在分為若干步驟的計算中，每步計算都要用到上面步的計算結(jié)果。這時，若前一步的誤差對后一步的影響變得較小，而且隨著計算的繼續(xù)進(jìn)行，其影響逐漸消失，則計算是穩(wěn)定的。反之，若前一步誤差對后一步誤差影響增大，誤差逐步積累。則計算結(jié)果越來越遠(yuǎn)離正確的答案，以致面目皆非。例如，在微分方程數(shù)值解法中，計算格式的穩(wěn)定性是非常重要的分析內(nèi)容。不穩(wěn)定的格式根本不能用于實際計算。 2100433B

全書共分10章，內(nèi)容包括：誤差分析與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)、測量誤差分布及其檢驗、隨機(jī)誤差及其特征量估計、系統(tǒng)誤差處理、測量列中異常數(shù)據(jù)的剔除、誤差的合成與分配、最小二乘法及其應(yīng)用、回歸分析、測量不確定度評定、基于Excel的誤差分析與數(shù)據(jù)處理等。為加強(qiáng)誤差分析、數(shù)據(jù)處理及測量不確定度知識的實踐應(yīng)用教學(xué)，本書在各章節(jié)中穿插了統(tǒng)計分析軟件DPS在實際問題中的解決方案及應(yīng)用實例，并在第10章集中介紹了Excel電子表格在誤差分析與數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。

全書共分10章

第1章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ) 內(nèi)容包括測量及其分類、測量誤差概述、測量精度、有效數(shù)字、修約規(guī)則、數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則、DPS簡介等。

第2章 測量誤差分布及其檢驗 內(nèi)容包括測量誤差分布、誤差分布的分析與判斷、誤差分布的統(tǒng)計檢驗等。其中，在測量誤差分布一節(jié)中，介紹了基于DPS進(jìn)行誤差分布的概率計算及臨界值計算；在誤差分布的分析與判斷一節(jié)中，介紹了基于DPS作測量點(diǎn)列圖和統(tǒng)計直方圖；在誤差分布的統(tǒng)計檢驗一節(jié)中，介紹了基于DPS實現(xiàn)"_blank" href="/item/斯米爾諾夫">斯米爾諾夫檢驗、達(dá)戈斯提諾檢驗、夏皮羅-威爾克檢驗及偏-峰態(tài)系數(shù)檢驗等。

第3章 隨機(jī)誤差及其特征量估計 內(nèi)容包括隨機(jī)誤差概述、等精度測量特征量估計、不等精度測量特征量估計、測量的極限誤差等。其中，在等精度測量特征量估計一節(jié)中，介紹了基于DPS的特征量估計方法。

第4章 系統(tǒng)誤差處理 內(nèi)容包括系統(tǒng)誤差概述、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)、系統(tǒng)誤差的減小和消除等。其中，在系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)一節(jié)中，介紹了基于DPS的殘余誤差觀察法及"para" label-module="para">

第5章 測量列中異常數(shù)據(jù)的剔除 內(nèi)容包括粗大誤差概述、異常數(shù)據(jù)判別準(zhǔn)則、基于DPS的異常數(shù)據(jù)剔除等。

第6章 誤差的合成與分配 內(nèi)容包括誤差合成、微小誤差取舍準(zhǔn)則、誤差合成的應(yīng)用、誤差分配等。誤差分析與數(shù)據(jù)處理前言 第7章 最小二乘法及其應(yīng)用 內(nèi)容包括概述、最小二乘法原理、最小二乘問題求解、最小二乘問題精度估計、組合測量數(shù)據(jù)處理、DPS在最小二乘處理中的應(yīng)用等。

第8章回歸分析內(nèi)容包括一元線性回歸、兩個變量都具有誤差時線性回歸方程的求解、多元線性回歸、一元非線性回歸等。其中，在一元線性回歸、多元線性回歸及一元非線性回歸中，均介紹了基于DPS的解決方案及應(yīng)用實例。

第9章 測量不確定度評定 內(nèi)容包括測量不確定度概述、標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度、擴(kuò)展不確定度、測量不確定度報告、測量不確定度評定舉例等。

第10章 基于Excel的誤差分析與數(shù)據(jù)處理 內(nèi)容包括Excel應(yīng)用基礎(chǔ)、基于Excel的誤差分布分析與判斷、基于Excel的系統(tǒng)誤差檢驗、基于Excel的測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征量估計、基于Excel的最小二乘處理、基于Excel的回歸分析、Excel在測量不確定度評定中的應(yīng)用等。其中，在基于Excel的誤差分布分析與判斷一節(jié)中，介紹了基于Excel作測量點(diǎn)列圖和統(tǒng)計直方圖；在基于Excel的系統(tǒng)誤差檢驗一節(jié)中，介紹了基于Excel的殘余誤差觀察法及"_blank" href="/item/回歸分析">回歸分析中，介紹了基于Excel函數(shù)的回歸分析、基于趨勢線的回歸分析及基于數(shù)據(jù)分析工具--回歸分析的回歸問題處理。

附錄部分介紹了一些矩陣基礎(chǔ)知識和有關(guān)附表。

本書巧妙地引入統(tǒng)計分析軟件DSP及Microsoft Office辦公軟件的Excel電子表格進(jìn)行誤差分析與數(shù)據(jù)處理，使教材內(nèi)容更豐富，理論聯(lián)系實際，從而使教學(xué)過程更形象，便于學(xué)生對理論知識的消化理解，并易于在工作中學(xué)以致用。

中國工程院院士、中國計量科學(xué)研究院首席科學(xué)家張鐘華研究員在百忙之中為本書撰寫了序言，在此深表感謝！

在本書的編寫過程中，參考和引用了國內(nèi)外有關(guān)研究者的部分研究成果，參考文獻(xiàn)中均已一一列舉。本書的育成，得益于從他們的著作及研究成果中吸取了豐富的養(yǎng)分，在此向他們表示衷心的感謝！

由于作者水平有限，書中錯誤與不妥之處在所難免，懇請廣大讀者批評指正。

編 者2010年3月

光固化快速成型的誤差分析光固化快速成型技術(shù)的基本原理是將任意復(fù)雜的三維CAD模型轉(zhuǎn)化為一系列簡單的二維層片,逐層固化粘結(jié),從而獲得三維模型"按照成型機(jī)的成型工藝過程,可以將產(chǎn)生成型誤差的因素按概述圖所示分類"。

2.前期數(shù)據(jù)處理誤差

由于成型機(jī)所接收的是模型的輪廓信息,所以加工前必須對其進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換"1987年,3DsystSnel公司對任意曲面CAD模型作小三角型平面近似,開發(fā)了TsL文件格式,并由此建立了從近似模型中進(jìn)行切片獲取截面輪廓信息的統(tǒng)一方法,延用至今[1]"多年以來,STL文件格式受到越來越多的CAD系統(tǒng)和設(shè)備的支持,其優(yōu)點(diǎn)是大大簡化了CAD模型的數(shù)據(jù)格式,是CAD系統(tǒng)與RP系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn),它便于在后續(xù)分層處理時獲取每一層片實體點(diǎn)的坐標(biāo)值,以便控制掃描鏡頭對材料進(jìn)行選擇性掃描"因此被工業(yè)界認(rèn)為是快速成型數(shù)據(jù)的準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn),幾乎所有類型的快速成型系統(tǒng)都采有STL數(shù)據(jù)格式,極大地推動了快速成型技術(shù)的發(fā)展"對三維模型進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,誤差主要產(chǎn)生于三維CAD模型的STL文件輸出和對此STL文件的分層處理兩個過程中"下面將分別論述STL格式文件轉(zhuǎn)換和分層處理對成型精度的影響"

2.1幾文件格式轉(zhuǎn)換誤差

STL幾文件的數(shù)據(jù)格式是采用小三角形來近似逼近三維CAD模型的外表面,小三角形數(shù)量的多少直接影響著近似逼近的精度.顯然,精度要求越高,選取的三角形應(yīng)該越多"一般三維CAD系統(tǒng)在輸出STL格式文件時都要求輸入精度參數(shù),也就是用STL格式擬合原CAD模型的最大允許誤差"這種文件格式將CAD連續(xù)的表面離散為三角形面片的集合,當(dāng)實體模型表面均為平面時不會產(chǎn)生誤差,.但對于曲面而言,不管精度怎么高,也不能完全表達(dá)原表面,這種逼近誤差不可避免地存在"如制作一圓柱體,當(dāng)沿軸線方向成型時,如果逼近精度有限,則明顯地看到圓柱體變成了棱柱體,如圖1.2所示"

解決方法：清除這種誤差的根本途徑是直接從CAD模型獲 取制造數(shù)據(jù),但是實用中尚未達(dá)到這一步"現(xiàn)有的辦法只能在對CAD模型進(jìn)行ST職洛式轉(zhuǎn)換時,通過恰當(dāng)?shù)剡x擇精度參數(shù)值減少這一誤差,這往往依賴于經(jīng)驗"。

2.2分層處理對成型精度的影響

分層處理產(chǎn)生的誤差屬于原理誤差,分層處理以S幾文件格式為基礎(chǔ),先確定成型方向,通過一簇垂直于成型方向的平行平面與STL文件格式模型相截,所得到的截面與模型實體的交線再經(jīng)過數(shù)據(jù)處理生成截面輪廓信息,平行平面之間的距離就是分層厚度"由于每一切片層之間存在距離,因此切片不僅破壞了模型表面的連續(xù)性,而且不可避免地丟失了兩切片層間的信息,這一處理造成分層方向的尺寸誤差和面型精度誤差"。

(1)分層方向尺寸誤差分析

進(jìn)行分層處理時,確定分層厚度后,如果分層平面正好位于頂面或底面,則所得到的多邊形恰好是該平面處實際輪廓曲線的內(nèi)接多邊形;如果汾層平面與此兩平面不重合,即沿切層方向某一尺寸與分層厚度不能整除時,將會引起分層方向的尺寸誤差"

1)增加分層數(shù)量!減小分層厚度

為了獲得較高的面型精度,應(yīng)盡可能減小分層厚度,但是,分層數(shù)量的增加,使制造效率顯著降低"同時,層厚太小會給涂層處理帶來一定的困難"另外,自適應(yīng)性切片分層技術(shù)能夠較好的提高面型精度,是解決這一問題的較為有效途徑"

2)優(yōu)化成型制作方向

優(yōu)化成型制作方向,實質(zhì)上就是減小模型表面與成型方向的角度,也就是減小體積誤差"

3成型加工誤差

3.1機(jī)器誤差

機(jī)器誤差是成型機(jī)本身的誤差,它是影響制件精度的原始誤差"機(jī)器誤差在成型系統(tǒng)的設(shè)計及制造過程中就應(yīng)盡量減小,因為它是提高制件精度的硬件基礎(chǔ)"。

(l)工作臺Z方向運(yùn)動誤差

工作臺Z方向運(yùn)動誤差直接影響堆積過程中的層厚精度,最終導(dǎo)致Z方向的尺寸誤差;而工作臺在垂直面內(nèi)的運(yùn)動直線度誤差宏觀上產(chǎn)生制件的形狀!位置誤差,微觀上導(dǎo)致粗糙度增大"對于CPS350成型機(jī)來說,所采用的系統(tǒng)在500mm范圍內(nèi)的全程定位精度為0.03mm,雙向重復(fù)定位精度為0003mm。

(2)X.Y方向同步帶變形誤差

X.Y掃描系統(tǒng)采用X,Y二維運(yùn)動,由步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動同步齒形帶并帶動掃描鏡頭運(yùn)動在定位時,由于同步帶的變形,會影響定位的精度,常用的方法是采用位置補(bǔ)償系數(shù)來減小其影響CPS35O成型機(jī)出廠后進(jìn)行位置補(bǔ)償,其重復(fù)定位精度可達(dá)到005mm。

(3)XY方向定位誤差

掃描過程中,X.Y掃描系統(tǒng)存在以下問題:

1)系統(tǒng)運(yùn)動慣性力的影響

對于采用步進(jìn)電機(jī)的開環(huán)驅(qū)動系統(tǒng)而言,步進(jìn)電機(jī)本身和機(jī)械結(jié)構(gòu)都影響掃描系統(tǒng)的動態(tài)性能"-XY掃描系統(tǒng)在掃描換向階段,存在一定的慣性,使得掃描頭在零件邊緣部分超出設(shè)計尺寸的范圍,導(dǎo)致零件的尺寸有所增加"同時掃描頭在掃描時,始終處于反復(fù)加速減速的過程中,因此,在工件邊緣,掃描速度低于中間部分,光束對邊緣的照射時間要長一些,并且存在掃描方向的變換,掃描系統(tǒng)慣性力大,加減速過程慢,致使邊緣處樹脂固化程度較高"。

2)掃描機(jī)構(gòu)振動的影響

成型過程中,掃描機(jī)構(gòu)對零件的分層截面作往復(fù)填充掃描,掃描頭在步進(jìn)電機(jī)的驅(qū)動下本身具有一個固有頻率,由于各種長度的掃描線都可能存在,所以在一定范圍內(nèi)的各種頻率都有可能發(fā)生,當(dāng)發(fā)生諧振時,振動增大,成形零件將產(chǎn)生較大的誤差"。

3.2光固化成型誤差

(1)光斑直徑產(chǎn)生的誤差

這一固化成型特點(diǎn),使所做出的零件實體部分實際上每側(cè)大了一個光斑半徑,零件的長度尺寸大了一個光斑直徑,使零件產(chǎn)生正偏差,雖然控制軟件中采用自適應(yīng)拐角延時算法,但由于光斑直徑的存在,必然在其拐角處形成圓角,導(dǎo)致形狀鈍化,降低了制件的形狀精度,而使得一些小尺寸制件無法加工"由上述分析可知,如果不采用光斑補(bǔ)償,將使制件產(chǎn)生正偏差"為了消除或減少正偏差,實際上采用光斑補(bǔ)償,使光斑掃描路徑向?qū)嶓w內(nèi)部縮進(jìn)一個光斑半徑"。

4.后處理產(chǎn)生的誤差

從成型機(jī)上取出已成型的工件后,需要進(jìn)行剝離支撐結(jié)構(gòu),有的還需要進(jìn)行后固化、修補(bǔ)、打磨、拋光和表面處理等,這些工序統(tǒng)稱為后處理"這類誤差可分為以下幾種:

(1)工件成型完成后,去除支撐時,可能表面質(zhì)量產(chǎn)生影響,所以支撐設(shè)計時要合理,不多不少,一般支撐間距為6nnn"支撐的設(shè)計與成型方向的選取有關(guān),在選取成型方向時,要綜合考慮添加支撐要少,并便于去除等"。

(2)由于溫度!濕度等環(huán)境狀況的變化,工件可能會繼續(xù)變形并導(dǎo)致誤差,并且由于成型工藝或工件本身結(jié)構(gòu)工藝性等方面的原因,成型后的工件內(nèi)總或多或少地存在殘余應(yīng)力,這種殘余應(yīng)力會由于時效的作用而全部或部分地消失,這也會導(dǎo)致誤差"設(shè)法減小成型過程中的殘余應(yīng)力有利于提高零件的成型精度"。

(3)制件的表面狀況和機(jī)械強(qiáng)度等方面還不能完全滿足最終產(chǎn)品的要求"例如制件表面不光滑,其曲面上存在因分層制造引起的小臺階、小缺陷,制件的薄壁和某些小特征結(jié)構(gòu)可能強(qiáng)度不足、尺寸不夠精確!表面硬度或色彩不夠滿意"采用修補(bǔ)、打磨、拋光是為了提高表面質(zhì)量,表面涂覆是為了改變制品表面顏色提高其強(qiáng)度和其它性能,但在此過程中若處理不當(dāng)都會影響原型的尺寸及形狀精度,產(chǎn)生后處理誤差"。

5.結(jié)論

如何控制光固化成形工藝的精度是眾多研究者和學(xué)者必須考慮的一個問題。盡管可以通過多種方法來提高制件的成形精度，比如直接對三維 CAD 模型進(jìn)行分層以避免 STL 文件轉(zhuǎn)換過程中造成的誤差和通過改進(jìn)激光掃描方式也可以減小制件的內(nèi)應(yīng)力和形變量來提高制件的精度等方法都可以實現(xiàn)對精度的控制。但是在整個成形工藝過程中，其工藝路線和工藝參數(shù)對制件的精度也存在著很大的影響，仍然需要進(jìn)一步的研究。另外，光固化快速成型工藝的加工成本、生產(chǎn)效率及制件性能也需要在整個成形過程中考慮的重要因素。