正棱錐

正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由公共頂點(diǎn)的若干個(gè)等腰三角形三角形所組成的平面圖形。等腰三角形的腰是正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)。它的底就是正棱錐的底面邊長(zhǎng)。

圖二是正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐、正六棱錐的展開(kāi)圖。此外尚有多種展開(kāi)方法。正四面體是正三棱錐的特例。如圖二所示，正棱錐(正多棱錐)的底面是正多邊形，側(cè)面全是等腰三角形。

隨著棱錐的高度以及底面正多邊形大小的不同，其側(cè)面的等腰三角形的形狀也各有差異。例如，正三棱錐的3個(gè)側(cè)面構(gòu)成了3個(gè)全等的等腰三角形，正四棱錐的4個(gè)側(cè)面構(gòu)成4個(gè)全等的等腰三角形。

另外，正五棱錐、正六棱錐……，也各自構(gòu)成5個(gè)、6個(gè)……全等的等腰三角形。

如圖二所示，實(shí)線(xiàn)部分為切割線(xiàn)，若從虛線(xiàn)處折疊，即可制成正棱錐。

從正棱錐的頂點(diǎn)向底面引垂線(xiàn)，該垂線(xiàn)定會(huì)通過(guò)底面正多邊形的中心。

正棱錐的直觀圖由底面和頂點(diǎn)所決定。正棱錐底面的畫(huà)法與直棱柱底面的畫(huà)法相同。頂點(diǎn)和底面中心的距離等于它的高。下面以正五棱錐為例，說(shuō)明正棱錐的直觀圖的畫(huà)法。畫(huà)一個(gè)底面邊長(zhǎng)為5 cm，高為11.5 cm的正五棱錐的直觀圖。畫(huà)法：

（1）畫(huà)軸。畫(huà)x′軸、y′軸、z′軸，記坐標(biāo)原點(diǎn)為O′，使∠x(chóng)′O′y′=45°（或135°），∠x(chóng)′O′z′=90°。

（2）畫(huà)底面。按x′軸、y′軸畫(huà)正五邊形的直觀圖ABCDE，按比例尺取邊長(zhǎng)等于5÷5=1（cm），并使正五邊形的中心對(duì)應(yīng)于點(diǎn)O′。

（3）畫(huà)高線(xiàn)。在z′軸取O′S=11.5÷5=2.3（cm）。

（4）成圖。連結(jié)SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉輔助線(xiàn)，將被遮擋的部分改為虛線(xiàn)），就得到所畫(huà)的正五棱錐的直觀圖。2100433B

正棱錐除具有棱錐的性質(zhì)以外，還具有以下性質(zhì)：

(1)正棱錐的各條側(cè)棱相等；

(2)正棱錐的側(cè)面都是全等的等腰三角形；

(3)正棱錐的對(duì)角面都是等腰三角形；

(4)正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影所組成的三角形，都是全等的直角三角形；

(5)正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影所組成的三角形，都是全等的直角三角形

(6)正棱錐的斜高都相等；

(7)正棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角都相等；

(8)正棱錐的側(cè)棱和底面的交角都相等。正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半。

棱錐按照側(cè)面的個(gè)數(shù)（等于底面的邊數(shù)）可分為“三棱錐”、“四棱錐”、“五棱錐”等。三棱錐又稱(chēng)為“四面體”。

如果棱錐的底面是一個(gè)正多邊形，并且頂點(diǎn)到底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐稱(chēng)為“正棱錐”。正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做“棱錐的斜高”。

棱錐體正棱錐的側(cè)面

正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰三角形，底面是正多邊形，如果設(shè)它的底面邊長(zhǎng)為a，底面周長(zhǎng)為c，斜高為h'，容易得到正n棱錐的側(cè)面積的計(jì)算公式

S_{正棱錐側(cè)}=1/2nah'=1/2ch'

正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積的一半。

棱錐體正棱錐的表面積

正棱錐的表面積等于正棱錐的側(cè)面積與底面積之和。

（1）正四棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；

（2）正四棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形；

（3）正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等；2100433B