正棱錐性質(zhì)

正棱錐除具有棱錐的性質(zhì)以外，還具有以下性質(zhì)：

(1)正棱錐的各條側(cè)棱相等；

(2)正棱錐的側(cè)面都是全等的等腰三角形；

(3)正棱錐的對角面都是等腰三角形；

(4)正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影所組成的三角形，都是全等的直角三角形；

(5)正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影所組成的三角形，都是全等的直角三角形

(6)正棱錐的斜高都相等；

(7)正棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角都相等；

(8)正棱錐的側(cè)棱和底面的交角都相等。正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長和斜高乘積的一半。

正棱錐的側(cè)面展開圖是由公共頂點的若干個等腰三角形三角形所組成的平面圖形。等腰三角形的腰是正棱錐的側(cè)棱長。它的底就是正棱錐的底面邊長。

圖二是正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐、正六棱錐的展開圖。此外尚有多種展開方法。正四面體是正三棱錐的特例。如圖二所示，正棱錐(正多棱錐)的底面是正多邊形，側(cè)面全是等腰三角形。

隨著棱錐的高度以及底面正多邊形大小的不同，其側(cè)面的等腰三角形的形狀也各有差異。例如，正三棱錐的3個側(cè)面構(gòu)成了3個全等的等腰三角形，正四棱錐的4個側(cè)面構(gòu)成4個全等的等腰三角形。

另外，正五棱錐、正六棱錐……，也各自構(gòu)成5個、6個……全等的等腰三角形。

如圖二所示，實線部分為切割線，若從虛線處折疊，即可制成正棱錐。

從正棱錐的頂點向底面引垂線，該垂線定會通過底面正多邊形的中心。

正棱錐的直觀圖由底面和頂點所決定。正棱錐底面的畫法與直棱柱底面的畫法相同。頂點和底面中心的距離等于它的高。下面以正五棱錐為例，說明正棱錐的直觀圖的畫法。畫一個底面邊長為5 cm，高為11.5 cm的正五棱錐的直觀圖。畫法：

（1）畫軸。畫x′軸、y′軸、z′軸，記坐標(biāo)原點為O′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°。

（2）畫底面。按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE，按比例尺取邊長等于5÷5=1（cm），并使正五邊形的中心對應(yīng)于點O′。

（3）畫高線。在z′軸取O′S=11.5÷5=2.3（cm）。

（4）成圖。連結(jié)SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到所畫的正五棱錐的直觀圖。2100433B

棱錐按照側(cè)面的個數(shù)（等于底面的邊數(shù)）可分為“三棱錐”、“四棱錐”、“五棱錐”等。三棱錐又稱為“四面體”。

如果棱錐的底面是一個正多邊形，并且頂點到底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐稱為“正棱錐”。正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做“棱錐的斜高”。

棱錐體正棱錐的側(cè)面

正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，底面是正多邊形，如果設(shè)它的底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h'，容易得到正n棱錐的側(cè)面積的計算公式

S_{正棱錐側(cè)}=1/2nah'=1/2ch'

正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長和斜高乘積的一半。

棱錐體正棱錐的表面積

正棱錐的表面積等于正棱錐的側(cè)面積與底面積之和。

（1）正四棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；

（2）正四棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形；

（3）正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等；2100433B