正螺面性質(zhì)

正螺面是經(jīng)典微分幾何曲面論中的重要研究對(duì)象，本身具有很多重要的幾何性質(zhì)，例如正螺面是一種特殊的直紋面，可看作圓柱螺線的主法線面；正螺面的平均曲率恒為零，因此是極小曲面；此外通過計(jì)算正螺面的Gauss曲率，可以發(fā)現(xiàn)其Gauss曲率沿著直母線的正交軌線保持不變。

定理1：設(shè)α是一條曲率和撓率均恒不為零的曲線，S為α的主法線面。如果S沿著每條直母線平均曲率保持不變，則S必為正螺面。

定理2：設(shè)α是一條曲率和撓率均恒不為零的曲線，S為α的主法線面。如果S沿著每條直母線的正交軌線Gauss曲率保持不變，則S必為正螺面。

由定理1可直接得到如下推論：

推論：設(shè)S為某條曲率和撓率均恒不為零的曲線的主法線面。如果S的平均曲率為常數(shù)，則S必為正螺面 。

如《正螺面的圖形》所示。

定義1：由一條垂直于螺旋軸的直線作螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)所畫出的曲面叫正螺面。

旋轉(zhuǎn)是以定角速度 w順著 z軸方向，且移動(dòng)的距離與轉(zhuǎn)角 v 與( x 軸交角 ) 成正比，即正螺面的母線與螺線的“軸”垂直相交，當(dāng)交點(diǎn)N沿軸移動(dòng)時(shí)，母線繞軸旋轉(zhuǎn)，且N點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的距離與母線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度成正比。把 z 軸取作旋轉(zhuǎn)軸，M點(diǎn)為正螺面上任意一點(diǎn)，MN垂直于z軸，設(shè)MN=u，OP為MN在xy平面上的投影，OP與 x 軸的交角為 v 。 a 表示螺距 ( 比例系數(shù) ) ，則正螺面的方程可寫成：

即：

定義2：圓柱螺線

螺旋面是一類常見的曲面。以螺旋線和它的軸線為導(dǎo)線，直母線(也可以是曲母線)沿兩條導(dǎo)線滑動(dòng)，并始終與軸線交成定角所形成的曲面稱為螺旋面。同螺旋線一樣，螺旋面也分成左旋和右旋兩種。在形成螺旋面的過程中，母線上各點(diǎn)軌跡都是螺旋線。這些螺旋線導(dǎo)程相等。畫出螺旋線和軸線的投影，再畫出若干直素線的投影以及包絡(luò)線，就得到螺旋面的投影 。常見的螺旋面有正螺旋面、斜螺旋面（阿基米德螺旋面）、sincos螺旋面、漸開螺旋面等。

（1）正螺面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交曲線網(wǎng)、漸近曲線網(wǎng)和等溫網(wǎng)；

（2）正螺面的直紋性：正螺面是直紋曲面，但不可展；

（3）正螺面是極小曲面：正螺面上的任意光滑曲線C圍成的曲面區(qū)域最小，換句話說，正螺面是極小曲面。

直母線沿一條圓柱螺旋線運(yùn)動(dòng)，并始終與其軸線垂直相交所形成的曲面稱為正螺旋面。從正螺旋面的形成看，正螺旋面也可以說是一種錐狀面，如圖1所示，它是由直線段沿圓柱螺旋線作螺旋運(yùn)動(dòng)而形成的，螺旋線的導(dǎo)程為

投影圖中一般需畫出直導(dǎo)線

如圖2(b)所示，在水平投影中，點(diǎn)

正螺旋面用平行于

一直母線沿著圓柱螺旋線（曲導(dǎo)線）及圓柱軸線（直導(dǎo)線）運(yùn)動(dòng)，且始終正交于軸線而形成的曲面稱為正螺旋面，如圖2(a)所示。正螺旋面相鄰兩素線彼此交叉，所以是一種不可展的直紋曲面。

在圖2(a)中，當(dāng)點(diǎn)