自回歸滑動平均模型ARMA模型簡述

ARMA模型屬于時間序列分析中的一種，20世紀70年代，由美國統(tǒng)計學家金肯（JenKins）和波克斯（Box）提出。

自回歸滑動平均模型模型形式

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回歸項和q個移動平均項，ARMA(p,q)模型可以表示為：

式中符號： p和q是模型的自回歸階數和移動平均階數；φ和θ是不為零的待定系數；ε_t獨立的誤差項；

ARMA滯后算子表示法

ARMA(p,q)模型可以表示為：

若

自回歸滑動平均模型模型含義

使用兩個多項式的比率近似一個較長的AR多項式，即其中p q個數比AR(p)模型中階數p小。前二種模型分別是該種模型的特例。一個ARMA過程可能是AR與MA過程、幾個AR過程、AR與ARMA過程的迭加，也可能是測度誤差較大的AR過程 。

自回歸滑動平均模型識別條件

自回歸滑動平均模型模型階數

AIC準則：最小信息準則，同時給出ARMA模型階數和參數的最佳估計，適用于樣本數據較少的問題。目的是判斷預測目標的發(fā)展過程與哪一隨機過程最為接近。因為只有當樣本量足夠大時，樣本的自相關函數才非常接近母體的自相關函數。具體運用時，在規(guī)定范圍內使模型階數從低到高，分別計算AIC值，最后確定使其值最小的階數是模型的合適階數。

模型參數最大似然估計時

模型參數最小二乘估計時

式中：n為樣本數，

主要建模步驟如下 ：

（1）對時間序列進行零均值平穩(wěn)化處理。變形時間序列一般可分為平穩(wěn)時間序列和趨勢性序列。時間序列的趨勢又分為線性趨勢和非線性趨勢。若變形時間序列為非平穩(wěn)序列，具有向下或向上的趨勢，建模之前需要進行序列平穩(wěn)化處理，即零均值化、平穩(wěn)化處理。平穩(wěn)化處理的詳細方法在后面敘述。

（2）開始，逐漸增加模型階數，擬合ARMA (n,n-1)模型，即一階、一階增加模型階數，模型參數采用非線性最小二乘法估計，具體算法采用最速下降法。選擇殘差序列最小方差對應的模型作為初選模型。

（3）模型適應性檢驗。模型適應性檢驗的采用前面詳細闡述的相關函數法，這里不再重復。

（4）求最優(yōu)模型。系統(tǒng)意義上的最優(yōu)模型不僅是一個適應模型，而且是一個經濟的模型。因此還需要檢驗模型是否包含小參數，若有，可用F檢驗判斷是否可以刪去，擬合較低階模型，進而得到系統(tǒng)意義上的最優(yōu)模型。

（5）變形時間序列預測。變形時間序列建模的主要目的是對變形序列未來取值進行預測，預測詳細方法在后面敘述。

• 自回歸模型（AR模型）

• 向量自回歸模型（VAR模型）

• 差分自回歸滑動平均模型（ARIMA模型）

• 格蘭杰因果關系（Granger Causality）

求和自回歸滑動平均模型(integrated autore-gressive moving average model)簡稱ARIMA模型一種非平穩(wěn)時間序列模型.如果時間序列.}}(t=0，士1, ...)是有一定增長趨勢的非平穩(wěn)序列，經過差分運算O .x} -.x, -.xt-W wt，變?yōu)槠椒€(wěn)ARMA (p ,婦序列，則稱x:滿足一階求和自回歸滑動平均模型.若序列w，仍不平穩(wěn)，可取二次差分0 z}.，一w，一w,_ 1，乃至d階差分Od.TR=z，一二t一，，其中二:一O“一‘x:，才得到ARMA(p,q)序列，則稱x，滿足d階求和自回歸滑動平均模型，記為ARMA(p,d,q)，其中p}d,q為階數.2100433B

回歸滑動平均系統(tǒng)(autoregressive-movingaverage system)簡稱ARMA系統(tǒng)一類隨機系統(tǒng)。

離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數在

有限Z平面內既有極點也有零點，稱為自回歸滑動平均系統(tǒng)（ARMA系統(tǒng)），是IIR系統(tǒng)。2100433B

按點距或線距移動窗口，重復此平均方法，直到對整幅圖完成上述過程，這種過程稱為滑動平均。2100433B