轉(zhuǎn)動慣量

測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。三線擺是通過扭轉(zhuǎn)運動測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，其特點是無力圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、電機轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術(shù)上有一定的實際意義。

?轉(zhuǎn)動慣量(Moment of Inertia)是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個重要參量。 電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動慣量不同，可分別用于測量微小電流（檢流計）或電量（沖擊電流計）。在發(fā)動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計上，精確地測定轉(zhuǎn)動慣量，都是十分必要的。

對于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計算出相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。而對于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，因而實驗方法就顯得更為重要。

Moment of Inertia剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量。其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個質(zhì)點的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如角速度的大小）無關(guān)。形狀規(guī)則的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實驗法測定。轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用于剛體各種運動的動力學(xué)計算中。

描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動慣量中的最小者。

轉(zhuǎn)動慣量嚴格來說是一個張量，必須從張量的角度對其進行定義。出于簡單的角度考慮，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達.

設(shè)有一個剛體A,其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量張量定義為Jc，則Jc=∫ρ(r●rδ-rr)dV。該積分遍及整個剛體A，且，

其中，r=r1 e_1 + r2 e_2 + r3 e_3 ，是剛體質(zhì)心C到剛體上任一點B的矢徑；表達式rr是兩個矢量的并乘；而單位張量δ是度量張量，δ=δ_ij e_i e_j ，這里i和j是啞指標，標架(C;e_1，e_2，e_3)是一個典型的單位正交曲線標架；ρ是剛體的密度。

設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為ΣMc，剛體A在慣性系下的角速度矢量為ω，角加速度矢量為α，A繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量為Jc，則有如下的力矩方程：

ΣMc=Jc●α+ω×Jc●ω

將上面的矢量形式的力矩方程向各個坐標軸投影（或者，更確切地說，與各個坐標軸的單位方向矢量相點乘），就可以獲得各個坐標軸分量方向的標量形式的力矩方程。

轉(zhuǎn)動慣量張量Jc是一個二階張量，雖然在標架(C;e_1，e_2，e_3)下它有九個分量，但是因為它是一個對稱張量，故其實際獨立的分量只有六個。

還有垂直軸定理：垂直軸定理

一個平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn) 動慣量之和。

表達式：Iz=Ix+Iy

剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個質(zhì)點對該軸所形成的轉(zhuǎn)動慣量。由此折算所得的質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為 I=MK^2，式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動慣量。

轉(zhuǎn)動慣量的量綱為L^2M，在SI單位制中，它的單位是kg·m^2。

剛體繞某一點轉(zhuǎn)動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。

補充對轉(zhuǎn)動慣量的詳細解釋及其物理意義：

先說轉(zhuǎn)動慣量的由來，先從動能說起大家都知道動能E=（1/2）mv^2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(tǒng)（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運動的可能轉(zhuǎn)化為運動的實際能量的大?。?。

E=（1/2）mv^2 （v^2為v的2次方）

把v=wr代入上式 （w是角速度，r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個質(zhì)點，質(zhì)點與運動整體的重心的距離為r，而再把不同質(zhì)點積分化得到實際等效的r）

得到E=（1/2）m（wr）^2

由于某一個對象物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個變量K代替，

K=mr^2

得到E=（1/2）Kw^2

K就是轉(zhuǎn)動慣量，分析實際情況中的作用相當于牛頓運動平動分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個轉(zhuǎn)動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運動角度分析轉(zhuǎn)動問題。

變換一下公式角度分析轉(zhuǎn)動

1.E=（1/2）Kw^2本身代表研究對象的運動能量

2.之所以用E=（1/2）mv^2不好分析轉(zhuǎn)動物體的問題，是因為其中不包含轉(zhuǎn)動物體的任何轉(zhuǎn)動信息。

3.E=（1/2）mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運動的信息，因為里面的速度v只代表那個物體的質(zhì)心運動情況。

4.E=（1/2）Kw^2之所以利于分析，是因為包含了一個物體的所有轉(zhuǎn)動信息，因為轉(zhuǎn)動慣量K=mr^2本身就是一種積分得到的數(shù)，更細一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動物體的轉(zhuǎn)動不變的信息的等效結(jié)果K=∑ mr^2 （這里的K和上面的J一樣）

所以，就是因為發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動問題，就有了價值。

若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動慣量的計算公式可寫成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV

其中dV表示dm的體積元，σ表示該處的密度，r表示該體積元到轉(zhuǎn)軸的距離。

轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量一樣，是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性，用字母J表示。

當回轉(zhuǎn)軸過桿的中點并垂直于桿時；J=mL^2/12 其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。

當回轉(zhuǎn)軸過桿的端點并垂直于桿時：J=mL^2/3

其中m是桿的質(zhì)量，L是桿的長度。

當回轉(zhuǎn)軸是圓柱體軸線時；J=mr^2/2

其中m是圓柱體的質(zhì)量，r是圓柱體的半徑。

轉(zhuǎn)動慣量定理： M=Jβ

其中M是扭轉(zhuǎn)力矩

J是轉(zhuǎn)動慣量

β是角加速度

當回轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直時，J=mR^2；

當回轉(zhuǎn)軸通過邊緣與環(huán)面垂直時，J=2mR^2；

R為其半徑。

當回轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直時，J=﹙1/2﹚×mR^2；

當回轉(zhuǎn)軸通過邊緣與盤面垂直時，J=﹙3/2﹚×mR^2；

R為其半徑。

當回轉(zhuǎn)軸為對稱軸時，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2；]

R1和R2分別為其內(nèi)外半徑。

當回轉(zhuǎn)軸為中心軸時，J=﹙2/3﹚mR^2；

當回轉(zhuǎn)軸為球殼的切線時，J=﹙5/3﹚mR^2；

R為球殼半徑。

當回轉(zhuǎn)軸為球體的中心軸時，J=﹙2/5﹚mR^2；

當回轉(zhuǎn)軸為球體的切線時，J=﹙7/5﹚mR^2；

R為球體半徑。

當回轉(zhuǎn)軸為其中心軸時，J=﹙1/6﹚mL^2；

當回轉(zhuǎn)軸為其棱邊時，J=﹙2/3﹚mL^2；

當回轉(zhuǎn)軸為其體對角線時，J=（3/16）mL^2；

L為立方體邊長。

現(xiàn)在已知：一個直徑是80的軸，長度為500，材料是鋼材。計算一下，當在0.1秒內(nèi)使它達到500轉(zhuǎn)/分的速度時所需要的力矩？

分析：知道軸的直徑和長度，以及材料，我們可以查到鋼材的密度，進而計算出這個軸的質(zhì)量m，由公式ρ=m/v可以推出m=ρv=ρπr^2L.

根據(jù)在0.1秒達到500轉(zhuǎn)/分的角速度，我們可以算出軸的角加速度β=△ω/△t=500轉(zhuǎn)/分/0.1s

電機軸我們可以認為是圓柱體過軸線，所以J=mr^2/2。

所以M=Jβ

=mr^2/2△ω/△t

=ρπr^2hr^2/2△ω/△t

=7.8×10^3 ×3.14× 0.04^2×0.5×0.04^2÷2 ×500×2π÷60÷0.1

=8.203145

單位M=kgm^2/s^2=N*m ? ?

1.測定儀器常數(shù)。

恰當選擇測量儀器和用具，減小測量不確定度。自擬實驗步驟，確保三線擺的上、下圓盤的水平，使儀器達到最佳測量狀態(tài)。

2.測量下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 ，并計算其不確定度。

轉(zhuǎn)動三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運動，而避免產(chǎn)生左右晃動。自己擬定測 的方法，使周期的測量不確定度小于其它測量量的不確定度。利用式，求出 ，并推導(dǎo)出不確定度傳遞公式，計算的不確定度。

3.測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量 　　

在下圓盤上放上待測圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動軸上，測量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。測量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑 。利用式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量 。并與理論值進行比較，求出相對誤差。

4.驗證平行軸定理　　

將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測量轉(zhuǎn)動軸通過圓柱質(zhì)心時，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量 。然后將兩圓柱對稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測量此時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量 。 測量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離計算，并與測量值比較。

若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，且該軸與過質(zhì)心的軸相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：

J=Jc+md^2

其中Jc表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量

這個定理稱為平行軸定理

一個物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉(zhuǎn)動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過質(zhì)心的固定軸的轉(zhuǎn)動。也就是說，繞z軸的轉(zhuǎn)動等同于繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的疊加

三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點對稱地連接在下面的一個較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點上。

當上、下圓盤水平三線等長時，將上圓盤繞豎直的中心軸線O1O轉(zhuǎn)動一個小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸O1O作扭轉(zhuǎn)擺動。同時，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動軸升降，=H是上、下圓盤中心的垂直距離；=h是下圓盤在振動時上升的高度；是上圓盤的半徑；是下圓盤的半徑；α是扭轉(zhuǎn)角。

由于三懸線能力相等，下圓盤運動對于中心軸線是對稱的，僅分析一邊懸線的運動。用L表示懸線的長度，當下圓盤扭轉(zhuǎn)一個角度α?xí)r，下圓盤的懸線點移動到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。