最優(yōu)化方法與最優(yōu)控制目錄

第1章　最優(yōu)化方法的一般概念

1.1　目標函數(shù)、約束條件和求解方法

1.2　靜態(tài)最優(yōu)化問題與動態(tài)最優(yōu)化問題

1.3　線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃問題

1.4　最優(yōu)化方法在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用

習題

第2章　非線性規(guī)劃

2.1　一元函數(shù)的極小化

2.2　多元函數(shù)無約束的極小化

2.3　求解多元函數(shù)無約束極值的直接法

2.4　多元函數(shù)帶約束極小化

2.5　非線性規(guī)劃應(yīng)用舉例

習題

第3章　線性規(guī)劃

3.1　線性規(guī)劃的數(shù)學模型

3.2　圖解法

3.3　線性規(guī)劃的數(shù)學基礎(chǔ)

3.4　線性規(guī)劃的單純形法

3.5　線性規(guī)劃的對偶問題

3.6　對偶單純形法

3.7　線性規(guī)劃應(yīng)用舉例

習題

第4章　最優(yōu)控制與變分法

4.1　最優(yōu)控制問題的數(shù)學描述

4.2　無約束條件的動態(tài)最優(yōu)化問題

4.3　帶等式約束的動態(tài)最優(yōu)化問題

4.4　用哈密頓函數(shù)求解最優(yōu)控制問題

習題

第5章　最小值原理

5.1　最小值原理

5.2　快速最優(yōu)控制

5.3　奇異最優(yōu)控制

5.4　一些典型性能指標下的最優(yōu)控制

習題

第6章　線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)

6.1　線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)

6.2　狀態(tài)調(diào)節(jié)問題

6.3　tf—8時的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題

6.4　能夠保證衰減速度的最優(yōu)控制

6.5　在階躍干擾作用下的狀態(tài)調(diào)節(jié)器

6.6　輸出調(diào)節(jié)問題

6.7　最優(yōu)跟蹤問題

習題

第7章　動態(tài)規(guī)劃

7.1　多級決策過程

7.2　最優(yōu)性原理

7.3　離散系統(tǒng)的線性調(diào)節(jié)問題

7.4　動態(tài)規(guī)劃的連續(xù)形式

7.5　用動態(tài)規(guī)劃求解連續(xù)線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)問題

7.6　動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用示例

習題

參考文獻2100433B

本書是為研究生課程最優(yōu)化理論或最優(yōu)控制系統(tǒng)編寫的教材，書中深入淺出地闡述了最優(yōu)化方法和最優(yōu)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論、基本方法，側(cè)重節(jié)本原理和應(yīng)用，對于基本定理，避開嚴格的數(shù)學證明，而給出原理上和概念上的簡潔闡述，使讀者易于理解并能牢固地掌握基本概念和基本理論。此外，每章后面都配有豐富的例題和習題，幫助讀者理解書中所闡述的內(nèi)容。

本書深入淺出地闡述了最優(yōu)化方法和最優(yōu)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論、基本方法，并配有豐富的例題和習題，幫助讀者理解書申所闡述的內(nèi)容。

本書的內(nèi)容分為兩大部分，第一部分包括第1章、第2章和第3章，闡述了最優(yōu)化方法的一般概念和靜態(tài)最優(yōu)化方法（線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃）的一些基本理論和計算方法；第二部分包括第4章至第7章，闡述了動態(tài)最優(yōu)化方法的基本內(nèi)容，包括變分極值問題、最小值原理、線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)和動態(tài)規(guī)劃的各種基本算法。

本書各章節(jié)注重基本原理和基本概念的闡述，容易理解。

非線性最優(yōu)控制線性最優(yōu)控制

線性最優(yōu)控制（linear optimal control）最優(yōu)控制問題的實質(zhì)是要找出允許的控制作用（規(guī)律），使得動態(tài)系統(tǒng)（受控對象）從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某種要求的終端狀態(tài)，并且保證某種要求的性能指標達到最小（大）。線性最優(yōu)控制是特指那類受控對象為線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

線性最優(yōu)控制是最優(yōu)控制的一個特殊類。在線性最優(yōu)控制中，受控制的裝置假設(shè)為線性的，而控制器，即產(chǎn)生最優(yōu)控制作用的裝置也限于是線性的。這就是說，控制器輸出即最優(yōu)控制是與輸人線性相關(guān)，而輸人則是對裝置進行測量而產(chǎn)生的量。當然，人們一定會問，為什么要特別地研究線性最優(yōu)控制，而不直接研究最優(yōu)控制呢？這里可以提出一些理由。例如，工程上許多實際裝置在其附加控制器之前是線性的，而 且線性控制器在技術(shù)上是最易實現(xiàn)的，且它往往能滿足需要。

非線性最優(yōu)控制區(qū)別

線性和非線性最優(yōu)控制理論之間既有相似之處更有重大區(qū)別。當系統(tǒng)為線性的時候，它的解可以由轉(zhuǎn)移函數(shù)表出，特別是在定常情況下，轉(zhuǎn)移函數(shù)有具體表達式，這就為我們的分析提供了十分便和之處。另一方面，在最大值原理基礎(chǔ)上獲得的Hamilton函數(shù)關(guān)于控制的偏導呈現(xiàn)相對簡單的形式，往往可以求出最優(yōu)反饋率，從而完全解決最優(yōu)控制問題。非線性的情況則復(fù)雜得多，對它的研究也不夠徹底，許多方面還有待進一步深入。這個領(lǐng)域的研究有一個十分明顯的特點，那就是多種數(shù)學理論和方法的綜合運用，包括非線性泛函分析、代數(shù)、和微分幾何方法等等。

線性最優(yōu)控制所要求的計算機程序往往可以用于非線性最優(yōu)控制問題。

非線性最優(yōu)控制簡介

解決最優(yōu)控制問題最大的難點在于HJB方程的求解，只有當系統(tǒng)模型是低階線性模型時，才有可能給出具有顯式表達式的最優(yōu)控制解。在實際系統(tǒng)里，乃至自然界中，幾乎絕大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的系統(tǒng)，想得到具有顯式表達式的控制量幾乎不可能，這就需要借助計算機，以及選擇合適的最優(yōu)的數(shù)值解法，以得到最優(yōu)解。一般的，最優(yōu)控制問題的求解方法為數(shù)值算法。極大值原理和動態(tài)規(guī)劃從理論方面研究了最優(yōu)控制所應(yīng)遵循的方程和條件，而最優(yōu)控制的數(shù)值算法則是從計算方面來確定最優(yōu)控制量的具體方法和步驟。

評價最優(yōu)控制數(shù)值算法優(yōu)劣的三個主要方面是算法的收斂性、計算復(fù)雜性以及數(shù)值穩(wěn)定性。算法的收斂性是保證計算過程能達到正確結(jié)果的前提。算法的計算復(fù)雜性也尤其重要，這對實時控制具有特別重要的意義。一個好的算法應(yīng)使計算量和存儲量盡可能小，以便能由盡可能簡單的計算機來實現(xiàn)計算。好的算法還應(yīng)具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，即計算的結(jié)果對初始數(shù)據(jù)和運算過程的誤差不能過于敏感，同時具有處理病態(tài)問題的能力。典型的最優(yōu)控制數(shù)值算法包括:求解由極大值原理導出的微分或差分方程的兩點邊值問題的各種算法，對動態(tài)規(guī)劃中的貝爾曼方程進行數(shù)值求解_的算法，求解線性二次型最優(yōu)控制問題的黎卡提方程的各種算法，處理控制或狀態(tài)受約束問題的懲罰函數(shù)法，在控制策略的函數(shù)空間中利用搜索尋優(yōu)或梯度尋優(yōu)技術(shù)和牛頓一拉夫森方法等直接求解非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的算法等。其中，針對非線性系統(tǒng)的開環(huán)最優(yōu)控制問題和線性二次型最優(yōu)控制問題展開的數(shù)值算法研究尤多。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題間接求解法

在間接法中，我們依靠最小值原理和其它一些必要條件得到一個兩點邊值問題，然后通過數(shù)值求解該問題得到相應(yīng)的最優(yōu)軌跡。在幾種基于打靶法求解兩點邊值問題的方法中，多重打靶法是最引人矚目的。而其它的一些間接數(shù)值求解法，比如伴隨方程的向前一向后積分法、函數(shù)空間梯度法等，在過去的幾年中應(yīng)用并不十分廣泛。間接法的主要優(yōu)點是解的精度高，同時方法保證了求解滿足最優(yōu)條件。然而間接法常常會遇到比較嚴重的解的收斂性問題。如果在求解中，沒有關(guān)于系統(tǒng)初始值的一個好的選取，或是沒有關(guān)于約束和非約束下系統(tǒng)運動軌跡的先驗知識，收斂過程可能需要花費很長的計算時間，甚至可能根本無法找到最優(yōu)解。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題直接求解法

在直接法中，連續(xù)性的最優(yōu)控制問題通過參數(shù)化的過程被轉(zhuǎn)化為了一個有限維的優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化后的問題可以通過一些已有的比較成熟的約束優(yōu)化算法進行數(shù)值求解。相對于間接法而言，直接法無需考慮最優(yōu)化條件，而是直接求解問題本身。直接法不易受到收斂問題的影響，但估計的精度不如間接法。最優(yōu)的必要條件不是直接滿足的，而且伴隨量的估計精度有時也會很差?，F(xiàn)在比較常用的幾種直接求解方法包括最優(yōu)參數(shù)控制法，有限差分方法，配點法，微分包含方法和偽譜方法。在最優(yōu)參數(shù)控制法中，控制量被單獨參數(shù)化，同時數(shù)值積分方法被用來求解微分方程;在有限差分方法中，原微分方程和邊界條件被近似為有限差分方程組:在配點法中，狀態(tài)量和控制量同時被參數(shù)化，在各個節(jié)點處，局部分段多項式被用來近似微分方程;微分包含方法只是將狀態(tài)量參數(shù)化，并使用由速端曲線定義的狀態(tài)變化率;在偽譜方法中，通過全局多項式將狀態(tài)量和控制量同時參數(shù)化，積分方程和微分方程通過求積法被近似。配點法和偽譜方法的一個重要的特點就是伴隨量的相合估計。

最優(yōu)化方法（也稱做運籌學方法）是近幾十年形成的，它主要運用數(shù)學方法研究各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及方案，為決策者提供科學決策的依據(jù)。

最優(yōu)化方法的主要研究對象是各種有組織系統(tǒng)的管理問題及其生產(chǎn)經(jīng)營活動。最優(yōu)化方法的目的在于針對所研究的系統(tǒng)，求得一個合理運用人力、物力和財力的最佳方案，發(fā)揮和提高系統(tǒng)的效能及效益，最終達到系統(tǒng)的最優(yōu)目標。 實踐表明，隨著科學技術(shù)的日益進步和生產(chǎn)經(jīng)營的日益發(fā)展，最優(yōu)化方法已成為現(xiàn)代管理科學的重要理論基礎(chǔ)和不可缺少的方法，被人們廣泛地應(yīng)用到公共管理、經(jīng)濟管理、工程建設(shè)、國防等各個領(lǐng)域，發(fā)揮著越來越重要的作用。本章將介紹最優(yōu)化方法的研究對象、特點，以及最優(yōu)化方法模型的建立和模型的分析、求解、應(yīng)用。主要是線性規(guī)劃問題的模型、求解（線性規(guī)劃問題的單純形解法）及其應(yīng)用――運輸問題；以及動態(tài)規(guī)劃的模型、求解、應(yīng)用――資源分配問題。

最優(yōu)化方法

1、微分學中求極值

2、無約束最優(yōu)化問題

3、常用微分公式

4、凸集與凸函數(shù)

5、等式約束最優(yōu)化問題

6、不等式約束最優(yōu)化問題

7、變分學中求極值

最優(yōu)化方法數(shù)學意義

為了達到最優(yōu)化目的所提出的各種求解方法。從數(shù)學意義上說，最優(yōu)化方法是一種求極值的方法，即在一組約束為等式或不等式的條件下，使系統(tǒng)的目標函數(shù)達到極值，即最大值或最小值。從經(jīng)濟意義上說，是在一定的人力、物力和財力資源條件下，使經(jīng)濟效果達到最大（如產(chǎn)值、利潤），或者在完成規(guī)定的生產(chǎn)或經(jīng)濟任務(wù)下，使投入的人力、物力和財力等資源為最少。

最優(yōu)化方法發(fā)展簡史

公元前 500年古希臘在討論建筑美學中就已發(fā)現(xiàn)了長方形長與寬的最佳比例為0.618,稱為黃金分割比。其倒數(shù)至今在優(yōu)選法中仍得到廣泛應(yīng)用。在微積分出現(xiàn)以前，已有許多學者開始研究用數(shù)學方法解決最優(yōu)化問題。例如阿基米德證明：給定周長，圓所包圍的面積為最大。這就是歐洲古代城堡幾乎都建成圓形的原因。但是最優(yōu)化方法真正形成為科學方法則在17世紀以后。17世紀，I.牛頓和G.W.萊布尼茨在他們所創(chuàng)建的微積分中，提出求解具有多個自變量的實值函數(shù)的最大值和最小值的方法。以后又進一步討論具有未知函數(shù)的函數(shù)極值，從而形成變分法。這一時期的最優(yōu)化方法可以稱為古典最優(yōu)化方法。第二次世界大戰(zhàn)前后，由于軍事上的需要和科學技術(shù)和生產(chǎn)的迅速發(fā)展，許多實際的最優(yōu)化問題已經(jīng)無法用古典方法來解決，這就促進了近代最優(yōu)化方法的產(chǎn)生。

近代最優(yōu)化方法的形成和發(fā)展過程中最重要的事件有： 以蘇聯(lián)Л.В.康托羅維奇和美國G.B.丹齊克為代表的線性規(guī)劃；以美國庫恩和塔克爾為代表的非線性規(guī)劃；以美國R.貝爾曼為代表的動態(tài)規(guī)劃；以蘇聯(lián)Л.С.龐特里亞金為代表的極大值原理等。這些方法后來都形成體系，成為近代很活躍的學科，對促進運籌學、管理科學、控制論和系統(tǒng)工程等學科的發(fā)展起了重要作用。

最優(yōu)化方法工作步驟

用最優(yōu)化方法解決實際問題，一般可經(jīng)過下列步驟：①提出最優(yōu)化問題，收集有關(guān)數(shù)據(jù)和資料；②建立最優(yōu)化問題的數(shù)學模型,確定變量,列出目標函數(shù)和約束條件；③分析模型，選擇合適的最優(yōu)化方法；④求解，一般通過編制程序，用計算機求最優(yōu)解；⑤最優(yōu)解的檢驗和實施。上述 5個步驟中的工作相互支持和相互制約，在實踐中常常是反復(fù)交叉進行。

最優(yōu)化方法模型的基本要素

最優(yōu)化模型一般包括變量、約束條件和目標函數(shù)三要素:①變量:指最優(yōu)化問題中待確定的某些量。變量可用x=(x1，x2,…,xn)T表示。②約束條件:指在求最優(yōu)解時對變量的某些限制,包括技術(shù)上的約束、資源上的約束和時間上的約束等。列出的約束條件越接近實際系統(tǒng)，則所求得的系統(tǒng)最優(yōu)解也就越接近實際最優(yōu)解。約束條件可用 gi(x)≤0表示i=1,2，…，m，m 表示約束條件數(shù)；或x∈R(R表示可行集合)。③目標函數(shù)：最優(yōu)化有一定的評價標準。目標函數(shù)就是這種標準的數(shù)學描述，一般可用f(x)來表示，即f(x)=f(x1，x2,…,xn)。要求目標函數(shù)為最大時可寫成；要求最小時則可寫成。目標函數(shù)可以是系統(tǒng)功能的函數(shù)或費用的函數(shù)。它必須在滿足規(guī)定的約束條件下達到最大或最小。 　問題的分類 　最優(yōu)化問題根據(jù)其中的變量、約束、目標、問題性質(zhì)、時間因素和函數(shù)關(guān)系等不同情況，可分成多種類型（見表）。最優(yōu)化方法

最優(yōu)化方法

不同類型的最優(yōu)化問題可以有不同的最優(yōu)化方法，即使同一類型的問題也可有多種最優(yōu)化方法。反之,某些最優(yōu)化方法可適用于不同類型的模型。最優(yōu)化問題的求解方法一般可以分成解析法、直接法、數(shù)值計算法和其他方法。①解析法：這種方法只適用于目標函數(shù)和約束條件有明顯的解析表達式的情況。求解方法是：先求出最優(yōu)的必要條件，得到一組方程或不等式，再求解這組方程或不等式，一般是用求導數(shù)的方法或變分法求出必要條件，通過必要條件將問題簡化，因此也稱間接法。②直接法：當目標函數(shù)較為復(fù)雜或者不能用變量顯函數(shù)描述時，無法用解析法求必要條件。此時可采用直接搜索的方法經(jīng)過若干次迭代搜索到最優(yōu)點。這種方法常常根據(jù)經(jīng)驗或通過試驗得到所需結(jié)果。對于一維搜索(單變量極值問題)，主要用消去法或多項式插值法；對于多維搜索問題(多變量極值問題)主要應(yīng)用爬山法。③數(shù)值計算法：這種方法也是一種直接法。它以梯度法為基礎(chǔ)，所以是一種解析與數(shù)值計算相結(jié)合的方法。④其他方法：如網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法等(見網(wǎng)絡(luò)理論)。

解析性質(zhì)

根據(jù)函數(shù)的解析性質(zhì)，還可以對各種方法作進一步分類。例如，如果目標函數(shù)和約束條件都是線性的，就形成線性規(guī)劃。線性規(guī)劃有專門的解法，諸如單純形法、解乘數(shù)法、橢球法和卡馬卡法等。當目標或約束中有一非線性函數(shù)時,就形成非線性規(guī)劃。當目標是二次的,而約束是線性時，則稱為二次規(guī)劃。二次規(guī)劃的理論和方法都較成熟。如果目標函數(shù)具有一些函數(shù)的平方和的形式，則有專門求解平方和問題的優(yōu)化方法。目標函數(shù)具有多項式形式時，可形成一類幾何規(guī)劃。

最優(yōu)解的概念

最優(yōu)化問題的解一般稱為最優(yōu)解。如果只考察約束集合中某一局部范圍內(nèi)的優(yōu)劣情況，則解稱為局部最優(yōu)解。如果是考察整個約束集合中的情況，則解稱為總體最優(yōu)解。對于不同優(yōu)化問題，最優(yōu)解有不同的含意，因而還有專用的名稱。例如，在對策論和數(shù)理經(jīng)濟模型中稱為平衡解；在控制問題中稱為最優(yōu)控制或極值控制；在多目標決策問題中稱為非劣解（又稱帕雷托最優(yōu)解或有效解）。在解決實際問題時情況錯綜復(fù)雜，有時這種理想的最優(yōu)解不易求得，或者需要付出較大的代價，因而對解只要求能滿足一定限度范圍內(nèi)的條件,不一定過分強調(diào)最優(yōu)。50年代初,在運籌學發(fā)展的早期就有人提出次優(yōu)化的概念及其相應(yīng)的次優(yōu)解。提出這些概念的背景是：最優(yōu)化模型的建立本身就只是一種近似，因為實際問題中存在的某些因素，尤其是一些非定量因素很難在一個模型中全部加以考慮。另一方面，還缺乏一些求解較為復(fù)雜模型的有效方法。1961年H.A.西蒙進一步提出滿意解的概念，即只要決策者對解滿意即可。

最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法的應(yīng)用

最優(yōu)化一般可以分為最優(yōu)設(shè)計、最優(yōu)計劃、最優(yōu)管理和最優(yōu)控制等四個方面。①最優(yōu)設(shè)計:世界各國工程技術(shù)界,尤其是飛機、造船、機械、建筑等部門都已廣泛應(yīng)用最優(yōu)化方法于設(shè)計中，從各種設(shè)計參數(shù)的優(yōu)選到最佳結(jié)構(gòu)形狀的選取等，結(jié)合有限元方法已使許多設(shè)計優(yōu)化問題得到解決。一個新的發(fā)展動向是最優(yōu)設(shè)計和計算機輔助設(shè)計相結(jié)合。電子線路的最優(yōu)設(shè)計是另一個應(yīng)用最優(yōu)化方法的重要領(lǐng)域。配方配比的優(yōu)選方面在化工、橡膠、塑料等工業(yè)部門都得到成功的應(yīng)用,并向計算機輔助搜索最佳配方、配比方向發(fā)展(見優(yōu)選法)。②最優(yōu)計劃:現(xiàn)代國民經(jīng)濟或部門經(jīng)濟的計劃，直至企業(yè)的發(fā)展規(guī)劃和年度生產(chǎn)計劃，尤其是農(nóng)業(yè)規(guī)劃、種植計劃、能源規(guī)劃和其他資源、環(huán)境和生態(tài)規(guī)劃的制訂,都已開始應(yīng)用最優(yōu)化方法。一個重要的發(fā)展趨勢是幫助領(lǐng)導部門進行各種優(yōu)化決策。③最優(yōu)管理：一般在日常生產(chǎn)計劃的制訂、調(diào)度和運行中都可應(yīng)用最優(yōu)化方法。隨著管理信息系統(tǒng)和決策支持系統(tǒng)的建立和使用，使最優(yōu)管理得到迅速的發(fā)展。④最優(yōu)控制：主要用于對各種控制系統(tǒng)的優(yōu)化。例如，導彈系統(tǒng)的最優(yōu)控制，能保證用最少燃料完成飛行任務(wù),用最短時間達到目標;再如飛機、船舶、電力系統(tǒng)等的最優(yōu)控制，化工、冶金等工廠的最佳工況的控制。計算機接口裝置不斷完善和優(yōu)化方法的進一步發(fā)展，還為計算機在線生產(chǎn)控制創(chuàng)造了有利條件。最優(yōu)控制的對象也將從對機械、電氣、化工等硬系統(tǒng)的控制轉(zhuǎn)向?qū)ι鷳B(tài)、環(huán)境以至社會經(jīng)濟系統(tǒng)的控制。

圖書信息

書 名: 最優(yōu)化方法

作　者：張立衛(wèi)

出版社：科學出版社

出版時間： 2010年6月1日

ISBN: 9787030276490

開本： 16開

定價: 27.00元