最優(yōu)化估計模型模型簡介

在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸、商業(yè)、國防、建筑、通信、政府機(jī)關(guān)等各部門各領(lǐng)域的實際工作中，我們經(jīng)常會遇到求函數(shù)的極值或最大值最小值問題，這一類問題我們稱之為最優(yōu)化問題。而求解最優(yōu)化問題建立的模型被稱為最優(yōu)化模型。它主要解決最優(yōu)生產(chǎn)計劃、最優(yōu)分配、最佳設(shè)計、最優(yōu)決策、最優(yōu)管理等求函數(shù)最大值最小值問題。

最優(yōu)化問題的目的有兩個：①求出滿足一定條件下，函數(shù)的極值或最大值最小值；②求出取得極值時變量的取值。最優(yōu)化問題所涉及的內(nèi)容種類繁多，有的十分復(fù)雜，但是它們都有共同的關(guān)鍵因素：變量，約束條件和目標(biāo)函數(shù)。

變量是指最優(yōu)化問題中所涉及的與約束條件和目標(biāo)函數(shù)有關(guān)的待確定的量。一般來說，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標(biāo)函數(shù)緊密關(guān)聯(lián)。

最優(yōu)化問題中，求目標(biāo)函數(shù)的極值時，變量必須滿足的限制稱為約束條件。例如，許多實際問題變量要求必須非負(fù)，這是一種限制；在研究電路優(yōu)化設(shè)計問題時，變量必須服從電路基本定律，這也是一種限制等等。在研究問題時，這些限制我們必須用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確地描述它們 。

首先粗略估計參數(shù)的初始值，然后從初始值出發(fā)，通過反復(fù)擬合不斷搜索較優(yōu)參數(shù)值，直到模型參數(shù)取得“認(rèn)為的”最優(yōu)值為止。該過程涉及兩個主要概念，一個是參數(shù)初始值粗略計算，另外一個是參數(shù)最優(yōu)估計?；鶞?zhǔn)劑量分析在此基礎(chǔ)上估計基準(zhǔn)劑量值，以及基準(zhǔn)劑量下限值。

參數(shù)初始值計算

在數(shù)值分析軟件的開發(fā)中，一般把參數(shù)初始值的計算分為三種情況。第一種情況是模型形式很復(fù)雜、不易化簡計算，而且沒有人為的經(jīng)驗可以借鑒，在這種情況下一般由計算機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)賦值，或者人為地猜測指定。從這樣的初始值出發(fā)不斷搜索計算，可以預(yù)想到時間的漫長以及不確定性，這樣的求取參數(shù)初始值方法一般不作為軟件的主要計算方法，有時作為計算的一種輔助辦法在軟件設(shè)置中供選擇使用。第二種情況是模型形式較復(fù)雜，里然不能通過化簡求解，但是可以借助實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行粗略計算，比如從實驗數(shù)據(jù)中選取最大反應(yīng)數(shù)據(jù)，最小反應(yīng)數(shù)據(jù)，平均反應(yīng)值等，將這些值帶入劑量——反應(yīng)模型，通過解方程組或線性回歸等數(shù)學(xué)方法求得計算結(jié)果。第三種情況是對一般常用的主要數(shù)學(xué)模型，其模型形式相對簡單，屬于線性的，或者可以化簡為線性的，比如帶有指數(shù)的，可以對模型公式取對數(shù)轉(zhuǎn)換成線性模型，然后用線性回歸方法求解。第三種方法是常見的參數(shù)初始值計算方法。

參數(shù)最優(yōu)估計

參數(shù)估計也稱為參數(shù)推斷，是統(tǒng)計學(xué)中的一項重要統(tǒng)計推斷。參數(shù)估計方法分為點估計和區(qū)間估計兩類，點估計是指由樣本觀察值計算模型參數(shù)的估計值，到今天為止形成很多方法，包括最容易計算的矩估計，最常用最經(jīng)典的極大似然估計，通過使均方誤差最小的最小二乘法，還有1958年由圖基提出的適用于有偏樣木或存在異常值等情況的“刀切法”以及適用于多數(shù)概率分布的穩(wěn)健估計，假設(shè)參數(shù)具有先驗分布的貝葉斯估計等。區(qū)間估計是估計參數(shù)的一個可信區(qū)間，主要方法有樞軸法、自助法和貝葉斯法等。

極大似然估計法，其基本思想是如果能找到這樣的參數(shù)，參數(shù)使得出現(xiàn)己有實驗樣本的概率是最大的，那么就理所當(dāng)然的認(rèn)為這樣的參數(shù)就是最好的，將這些值做為真實值的估計。極大似然估計法由統(tǒng)計學(xué)家和遺傳學(xué)家在1912年最開始使用，如果假設(shè)模型正確，使用極大似然估計法推斷參數(shù)是最優(yōu)的。使用極大似然估計，首先要定義似然函數(shù)，但有時候似然函數(shù)存在，有時候不存在，或者可能還不唯一。在基準(zhǔn)劑量反應(yīng)模型巾，適用于二分?jǐn)?shù)據(jù)的反應(yīng)模型般認(rèn)為是服從二項分布的，適用于連續(xù)數(shù)據(jù)的反應(yīng)模型是服從正太分布的，有時也可以是對數(shù)正太分布，因此，都存在對應(yīng)的似然函數(shù)。

參數(shù)估計是由樣本推測總體分布的重要方法之一，但是在參數(shù)估計和最優(yōu)化求解相分離的情況下，參數(shù)估計就會造成目標(biāo)函數(shù)的實際值偏差理論值，得到低效的結(jié)果，需采取有效的修正方法。2100433B

水利規(guī)劃中現(xiàn)有的大系統(tǒng)優(yōu)化模型可歸納為3類。

水資源大系統(tǒng)最優(yōu)化大系統(tǒng)遞階模型

即規(guī)劃系統(tǒng)分多層組成，其最上層為整個水利規(guī)劃問題的協(xié)調(diào)優(yōu)化模型，以下各層則為暫時割斷彼此聯(lián)系的各子系統(tǒng)的優(yōu)化模型，上、下層之間各由協(xié)調(diào)變量聯(lián)結(jié)，通過反復(fù)修改協(xié)調(diào)變量和交替進(jìn)行上、下層優(yōu)化模型的迭代計算，以獲得整個水利規(guī)劃的優(yōu)化決策。這一模型具有降低維數(shù)、便于優(yōu)化運算和仿真性好等優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于中國各類水利規(guī)劃中。

水資源大系統(tǒng)最優(yōu)化大系統(tǒng)組合模型

又稱模型系統(tǒng)，根據(jù)大型復(fù)雜水利規(guī)劃問題建立由一組單一模型（如各種數(shù)學(xué)規(guī)劃模型、模擬模型等）構(gòu)成的組合模型。但模型本身不具有一定的結(jié)構(gòu)模式，而由多個模塊組成，如各項工程布局和規(guī)模的優(yōu)選模塊、上程排序模塊和經(jīng)濟(jì)社會和環(huán)境評價模塊等。這些模塊通常都按各項水利規(guī)劃優(yōu)化決策要求，以一定的順序和層次進(jìn)行有機(jī)組合，使其具有多種決策功能且仿真性能好又能便于求解。20世紀(jì)80年代以來，它已成功地廣泛應(yīng)用于中國水利規(guī)劃中，如將包括多維隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃和大系統(tǒng)分解協(xié)調(diào)等模型在內(nèi)的多目標(biāo)多層次組合模型用于庫群電站優(yōu)化規(guī)劃：將包括線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、模擬技術(shù)以及大系統(tǒng)分解協(xié)調(diào)等模型在內(nèi)的組合模型應(yīng)用于地區(qū)水資源優(yōu)化規(guī)劃等。

水資源大系統(tǒng)最優(yōu)化大系統(tǒng)廣義模型

把數(shù)學(xué)模型和知識模型融合于一體的優(yōu)化決策模型，可用以求解水利規(guī)劃中難以定量的半結(jié)構(gòu)化和非結(jié)構(gòu)化決策問題。廣義模型的建模途徑一般有：①將人的知識和經(jīng)驗，利用專家評分法、層次分析法以及專家系統(tǒng)等與數(shù)學(xué)模型結(jié)合構(gòu)成。②將知識和經(jīng)驗組合到不同于一般數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的模糊決策模型、灰色系統(tǒng)模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中。③運用交互作用原理，將人的知識和經(jīng)驗，借助專家系統(tǒng)，在計算機(jī)上實現(xiàn)與數(shù)學(xué)模型的結(jié)合，形成一種人機(jī)協(xié)調(diào)的模型。開展廣義模型的研究和應(yīng)用既是近1 0年來大系統(tǒng)優(yōu)化理論中的重要進(jìn)展之一，也是今后的重要發(fā)展方向。

用戶如果不能馬上根據(jù)專業(yè)知識或是觀測量數(shù)據(jù)本身的特點確定一種最佳模型，也可以利用曲線估計在11種不同的回歸模型中選擇建立一個簡單而又比較適合的模型。SPSS可完成表1中有關(guān)曲線擬合的功能。

在SPSS曲線估計中，首先，在不能明確究竟哪種模型更接近樣本數(shù)據(jù)時可在多種可選擇的模型中選擇幾種模型；然后，SPSS自動完成模型的參數(shù)估計，并輸出回歸方程顯著性檢驗的F值和相伴概率p值、判定系數(shù)R²等統(tǒng)計量；最后，以判定系數(shù)為主要依據(jù)選擇其中的最優(yōu)模型，并進(jìn)行預(yù)測分析等。另外，SPSS曲線估計還可以以時間為解釋變量，實現(xiàn)時間序列的簡單回歸分析和趨勢外推分析。

點估計的關(guān)鍵在于找到上面所提到的“按照某種原則構(gòu)成的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)”，從而去對未知參數(shù)進(jìn)行估計。這樣，“適當(dāng)?shù)挠陻?shù)”并不是唯一的，因此就構(gòu)成了不同的點估計法，常用的方法有矩法、最大似然法、子樣中位數(shù)法、截尾法等。對于同一個參數(shù)，用不同的方法來估計可能得到不同的估計量，而未知量的最優(yōu)估計量( 也稱為最佳估計量)是估計量必須同時滿足無偏性、一致性和有效性的要求。下面討論這些性質(zhì)的含意 。

估計值無偏性

估計量由隨機(jī)抽取的子樣決定，每一組子樣得到的估計量會由于隨機(jī)抽樣的影響而有,所不同，所以，估計量是隨機(jī)變量，我們希望估計量是在真值附近徘徊，隨著子樣容量n的增大，徘徊的幅度越來越小，亦即希望估計量的數(shù)學(xué)期望等于真值。所以，設(shè)未知參數(shù)的真值(理論值)為\hat{ heta }，其估計量為

估計值一致性

一致性是要求參數(shù)估計量

其中，n為子樣容量。此外，若

估計值有效性

設(shè)

此外，在所有對同一參數(shù)的無偏估計量中。各估計量的方差有一個下限

數(shù)理統(tǒng)計理論已經(jīng)證明：具有無偏性、最優(yōu)性的估計量必是一致性估計量，因此，在測量平差中，對參數(shù)估值的評選標(biāo)準(zhǔn)為最優(yōu)和無偏，稱為最優(yōu)無偏估值 。2100433B