點(diǎn)電荷計(jì)算方法

點(diǎn)電荷庫(kù)侖定律

對(duì)非點(diǎn)電荷間的相互作用力，可看成許多點(diǎn)電荷間相互作用力的疊加．靜止點(diǎn)電荷對(duì)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的作用力可用庫(kù)侖定律計(jì)算，但運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷對(duì)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷的作用力一般不能用庫(kù)侖定律計(jì)算 。

兩靜止點(diǎn)電荷間的相互作用是通過(guò)靜電場(chǎng)產(chǎn)生的。

在國(guó)際單位制里，電荷量的符號(hào)用Q表示，單位是庫(kù)倫(C)。

點(diǎn)電荷電場(chǎng)

點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式

點(diǎn)電荷電勢(shì)與電勢(shì)能

點(diǎn)電荷的電勢(shì)

點(diǎn)電荷的等勢(shì)面是一簇“近密遠(yuǎn)疏”的同心球殼，這一規(guī)律與其電場(chǎng)線(xiàn)的規(guī)律也是相似的。同時(shí)也體現(xiàn)了場(chǎng)強(qiáng)大處電勢(shì)差大，即“場(chǎng)強(qiáng)大處電壓高”的特點(diǎn)。

點(diǎn)電荷的電勢(shì)能

就字面上理解，“點(diǎn)電荷”就是帶電體，是一個(gè)沒(méi)有大小和形狀的幾何點(diǎn)。而電荷又全部集中在這幾何點(diǎn)上。事實(shí)上，任何帶電體都有其大小和形狀，真正的點(diǎn)電荷是不存在的，它像力學(xué)中的“質(zhì)點(diǎn)”概念一樣，純屬一個(gè)理想化模型。不過(guò)，當(dāng)我們?cè)谘芯繋щ婓w間的相互作用時(shí)，如果帶電體本身的幾何線(xiàn)度比起它們之間的距離小得很多，那么，帶電體的形狀、大小和電荷分布對(duì)帶電體之間的相互作用的影響就可以忽略不計(jì)。在此情況下，我們?nèi)钥梢园褞щ婓w抽象成點(diǎn)電荷模型。也只有這樣，“電荷之間的距離”這一概念本身才有完全確定的意義。從此角度看，點(diǎn)電荷又是一個(gè)相對(duì)性概念。為了能對(duì)點(diǎn)電荷的相對(duì)性認(rèn)識(shí)得更充分、更深刻，我們不妨再以均勻帶電圓盤(pán)中心軸線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)公式為例來(lái)加以說(shuō)明。均勻帶電圓盤(pán)軸線(xiàn)上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)公式為：

式中ε是真空中的介電常數(shù)，σ是圓盤(pán)上的電荷面密度，R為圓盤(pán)半徑，x是軸線(xiàn)上所論點(diǎn)到圓盤(pán)中心的距離。

當(dāng)R?x，即對(duì)于軸線(xiàn)上所論點(diǎn)看來(lái)可以認(rèn)為均勻帶電圓盤(pán)為“無(wú)限大”時(shí)，所論點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于E=σ/2ε，相當(dāng)于無(wú)限大帶電平面附近的電廠(chǎng)，可看成是均勻場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)垂直于板面，正負(fù)由電荷的符號(hào)決定。

若x?R，則按二項(xiàng)式定理展開(kāi)并略去Rx的高冪項(xiàng)，即得：

式中q=σπR²是圓盤(pán)所帶電量。由此可見(jiàn)，當(dāng)圓盤(pán)軸線(xiàn)上所論點(diǎn)到圓盤(pán)中心的距離與圓盤(pán)本身的大小相比為很大時(shí)，所論點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)與帶電量q的圓盤(pán)其中心的一個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相同。

這里特別值得一提的是，點(diǎn)電荷決不像有些人認(rèn)為的那樣，一定是一個(gè)帶有很少電量的帶電體。點(diǎn)電荷可以是電量很小，也可以是電量很大。另外，正像力學(xué)中可以把任何物體看作質(zhì)點(diǎn)的集合一樣，任何帶電體都可以看作是點(diǎn)電荷的集合。由此，若相互作用的不是點(diǎn)電荷而是有限大帶電體，則原則上總可將帶電體看成是由無(wú)限個(gè)點(diǎn)電荷元所組成的連續(xù)點(diǎn)電荷系，然后再利用適用點(diǎn)電荷相互作用規(guī)律的庫(kù)侖定律，通過(guò)求和或積分求出兩帶電體之間的相互作用力。在中學(xué)物理中，如果未特別指出帶電體的形狀、大小，則為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，一般都把此帶電體當(dāng)作點(diǎn)電荷來(lái)處理。

作為一種特殊情況，有時(shí)帶電體的大小雖然在研究問(wèn)題中不能忽略，但帶電體形狀比較規(guī)則，具有對(duì)稱(chēng)性，以至電荷分布也具有對(duì)稱(chēng)性。這時(shí)，帶電體對(duì)外所顯的電特性往往跟一個(gè)等效點(diǎn)電荷的電特性相同。于是，我們也可以把此帶電體等效成一個(gè)點(diǎn)電荷來(lái)處理。譬如，一個(gè)有限大均勻帶電的球體，它在球外各點(diǎn)的電場(chǎng)和電勢(shì)與一個(gè)與其帶等量電荷，位置在其球心的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)一模一樣。正因?yàn)槿绱?，在求球外任一點(diǎn)的電特性或求兩帶電球體的相互作用力時(shí)，我們才把它們均看作是電量全部集中在球心的點(diǎn)電荷。事實(shí)證明，這樣處理問(wèn)題既簡(jiǎn)捷又可靠。

點(diǎn)電荷是帶電體的一種理想模型。如果在研究的問(wèn)題中，帶電體的形狀 、大小以及電荷分布可以忽略不計(jì) ，即可將它看作是一個(gè)幾何點(diǎn)，則這樣的帶電體就是點(diǎn)電荷。一個(gè)實(shí)際的帶電體能否看作點(diǎn)電荷，不僅和帶電體本身有關(guān)，還取決于問(wèn)題的性質(zhì)和精度的要求。與質(zhì)點(diǎn)、剛體等概念一樣，點(diǎn)電荷是實(shí)際帶電體的抽象和近似，它是建立具有普遍意義的基本規(guī)律的不可或缺的理想模型，又是把復(fù)雜多樣的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化或分解為基本問(wèn)題時(shí)必不可少的分析手段。例如，庫(kù)侖定律、洛倫茲力公式的建立，帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)以及帶電體之間相互作用的定量研究，試驗(yàn)電荷的引入等等，都離不開(kāi)點(diǎn)電荷 。

實(shí)際的帶電體(包括電子、質(zhì)子等)都有一定大小，都不是點(diǎn)電荷．當(dāng)電荷間距離大到可認(rèn)為電荷大小、形狀不起什么作用時(shí)，可把電荷看成點(diǎn)電荷。

儲(chǔ)存于點(diǎn)電荷系統(tǒng)內(nèi)的電勢(shì)能。

電勢(shì)能單點(diǎn)電荷系統(tǒng)

只擁有單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)電荷的物理系統(tǒng)，其電勢(shì)能為零，因?yàn)闆](méi)有任何其它可以產(chǎn)生電場(chǎng)的源電荷，所以，將點(diǎn)電荷從無(wú)窮遠(yuǎn)移動(dòng)至其最終位置，外機(jī)制不需要對(duì)它做任何機(jī)械功。特別注意，這點(diǎn)電荷有可能會(huì)與自己生成的電場(chǎng)發(fā)生作用。然而，由于在點(diǎn)電荷的位置，它自己生成的電場(chǎng)為無(wú)窮大，所以，在計(jì)算系統(tǒng)的有限總電勢(shì)能之時(shí)，一般刻意不將這“自身能”納入考量范圍之內(nèi)，以簡(jiǎn)化物理模型，方便計(jì)算。

電勢(shì)能雙點(diǎn)電荷系統(tǒng)

一個(gè)質(zhì)子受到的另一個(gè)質(zhì)子的電場(chǎng)力F和電勢(shì)能Er隨距離r變化的示意圖。

思考兩個(gè)點(diǎn)電荷所組成的物理系統(tǒng)。假設(shè)第一個(gè)點(diǎn)電荷的位置為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則根據(jù)庫(kù)侖定律，點(diǎn)電荷q1施加于位置為r的第二個(gè)點(diǎn)電荷q2的電場(chǎng)力為

也可以表示成

其中，

在遷移點(diǎn)電荷q2時(shí)，如果r減小，那么機(jī)械能或動(dòng)能等轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能；如果r增加，那么其電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。如圖所示：

在遠(yuǎn)距離情況下，有

運(yùn)動(dòng)方向與電場(chǎng)力F相反，故為-F。因此總的電勢(shì)能增加量為曲線(xiàn)積分

在近距離情況下，

因此

點(diǎn)電荷電勢(shì)能

點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷的電勢(shì)能：

點(diǎn)電荷電勢(shì)

點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，一點(diǎn)的電勢(shì)：

當(dāng)φA>0時(shí)，q>0,則Ep>0,q<0,則Ep<0;

當(dāng)φA<0時(shí)，q>0,則Ep<0,q<0,則Ep>0.

功

沿電場(chǎng)線(xiàn)正向運(yùn)動(dòng)一定距離電場(chǎng)力做的功。

勻強(qiáng)電場(chǎng)或點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷沿電場(chǎng)線(xiàn)正向運(yùn)動(dòng)一定距離，電場(chǎng)力做的功：

電勢(shì)能變化量

（1）電場(chǎng)力做的功與電勢(shì)能變化量

起點(diǎn)和終點(diǎn)狀態(tài)靜止的點(diǎn)電荷，電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能變化量的關(guān)系：

電勢(shì)能的變化量也可以表示為△Ep=Epb-Epa，因此有Wab=-△Ep 。

（2）動(dòng)能變化量與電勢(shì)能變化量

根據(jù)能量守恒定律還可以得到，一般情況下，無(wú)外力做功的運(yùn)動(dòng)電荷，動(dòng)能變化量與電勢(shì)能變化量的關(guān)系：

如果是外力使電勢(shì)能增加，那么其他形式的能轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能，外力做正功，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加；

如果是電場(chǎng)力使物體運(yùn)動(dòng)，那么電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，電場(chǎng)力做正功，物體動(dòng)能增加，電勢(shì)能減??；

如果是物體運(yùn)動(dòng)使電勢(shì)能增加，那么動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能，物體動(dòng)能減少，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加。