多維度變換余弦變換

離散余弦變換被廣泛的應(yīng)用，像是資料壓縮、特征萃取、影像重建等等。多維度離散余弦變換為：

其中一個(gè)常用的多維度變換就是傅立葉變換，是將一個(gè)訊號(hào)的表示式從時(shí)域/空域轉(zhuǎn)換到頻域。 離散域的多維度傅立葉變換可表示成下列式子：

快速傅立葉變換(FFT)是一種用來計(jì)算離散傅立葉變換(DFT)和其逆變換的快速算法，快速傅立葉變換所得到的結(jié)果跟按照定義去算離散傅立葉變換的結(jié)果是一樣的，但唯一的差別是快速傅立葉變換的速度快很多。（在舍入誤差的存在下，很多快速傅立葉變換還比直接照定義算還更精準(zhǔn)。）有很多種快速傅立葉變換，他們包含很廣泛的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算到數(shù)論和群論，詳情可以看快速傅立葉變換。

多維度的離散傅立葉變換是離散域傅立葉變換的簡單版本，其方法是在均勻間隔下的樣本頻率去估計(jì)其值 .

逆多維DFT方程是:

離散傅立葉變換和離散余弦變換常常被使用在訊號(hào)處理 和影像處理，也常被用來當(dāng)作解偏微分方程式時(shí)更有效率的方法。離散傅立葉變換也可用在運(yùn)算折積或是乘上很大的整數(shù)。下列只列出一些例子。

影像處理

離散余弦變換被用在 JPEG 影像壓縮、MJPEG、MPEG、DV和 Theora影片壓縮上。壓縮時(shí)使用NxN'格的二維的離散余弦變換(DCT-II)然后再被量化且用熵編碼法編碼，通常N為8，而DCT-II的運(yùn)算就用在該格的每一行和每一排，結(jié)果會(huì)生成8x8的變換系數(shù)矩陣，其中(0,0)(左上角)的值是直流分量(頻率為0)，隨著水平或垂直的編號(hào)增加，代表水平或垂直的空間頻率增加，如圖1所示。

在影像處理方面，利用二維的離散余弦變換可以分析并且描述非常規(guī)的圖形加密方法，像是在二維圖像平面中插入非可見的二進(jìn)位制水印。 利用不同的方向，DCT-DWT混雜的轉(zhuǎn)換也可以用來去除超音波影像的噪聲。三維的離散余弦變換可以被用來轉(zhuǎn)換在使用水印影像遷入的影片資料或是三維影像資料。

頻譜分析

當(dāng)使用離散傅立葉變換來做頻譜分析時(shí)，{xn}的數(shù)列通常代表著從訊號(hào) x(t)中在均勻的時(shí)間點(diǎn)做取樣所得到的有限集合，這樣將連續(xù)時(shí)間點(diǎn)經(jīng)取樣離散化后，也將原本的傅立葉變換轉(zhuǎn)變成離散時(shí)間傅立葉變換(DTFT)，通常也因此產(chǎn)生了混疊的失真。為了要最小化這種失真，選擇適當(dāng)?shù)娜宇l率是重點(diǎn)(詳情請看取樣定理)。同樣的，將一個(gè)非常長(或無限)的數(shù)列轉(zhuǎn)變成一個(gè)容易處理的大小，會(huì)因此造成失真(Spectral leakage)，選取一個(gè)適當(dāng)?shù)淖訑?shù)列長度是最小化這個(gè)問題的關(guān)鍵點(diǎn)。當(dāng)資料量大于達(dá)到理想頻率分辨率所需的適量時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的作法是使用多個(gè)DFT，例如產(chǎn)生頻譜圖的時(shí)候。如果所期望的結(jié)果是功率頻譜而且有噪聲或隨機(jī)訊號(hào)出現(xiàn)在資料內(nèi)的話，多個(gè)DFT的振幅平均值可以用來減少頻譜的變異性，Welch method和Bartlett method就是這種技術(shù)。一般處理這種用來估計(jì)有噪聲的訊號(hào)的功率頻譜的方法就稱為頻譜估計(jì)。

其實(shí)會(huì)造成失真的主要源頭就是DFT本身，因?yàn)镈FT是將DTFT這種連續(xù)性的頻域做離散取樣的結(jié)果，可以利用提高DFT的頻率分辨率來減緩這問題。

• 這種方法有時(shí)候也被認(rèn)為是零填充，這是一種被用在快速傅立葉變換的一種特別應(yīng)用。這種因?yàn)橹禐榱愕娜狱c(diǎn)而產(chǎn)生的乘法與加法比原本的FFT產(chǎn)生偏移還要沒有效率。

• 如上面所言，失真(leakage)的問題對DTFT的頻率分辨率造成了限制，因此會(huì)對透過提高頻率分辨率的效益造成限制。

偏微分方程式

離散傅立葉變換時(shí)常被用來解偏微分方程式，其中DFT是被用來近似傅立葉級(jí)數(shù)，其優(yōu)點(diǎn)在于將訊號(hào)延伸為復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)

用快速傅立葉變換處理影像藝術(shù)面的分析

我們必須使用沒有損害的方法去得到一些關(guān)于藝術(shù)稀有的資訊(從HVS的觀點(diǎn)是著重于色度法以及空間資訊)。我們可以透過觀察色彩變化或是測量表面一制性的變化來了解藝術(shù)，因?yàn)檎麄€(gè)影像是非常大的，所以我們會(huì)使用一個(gè)雙生的余弦窗去擷取影像：

離散余弦變換(DCT for Discrete Cosine Transform)是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類似于離散傅里葉變換(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用實(shí)數(shù)。離散余弦變換相當(dāng)于一個(gè)長度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個(gè)離散傅里葉變換是對一個(gè)實(shí)偶函數(shù)進(jìn)行的（因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)），在有些變形里面需要將輸入或者輸出的位置移動(dòng)半個(gè)單位(DCT有8種標(biāo)準(zhǔn)類型，其中4種是常見的)。

最常用的一種離散余弦變換的類型是下面給出的第二種類型，通常我們所說的離散余弦變換指的就是這種。它的逆，也就是下面給出的第三種類型，通常相應(yīng)的被稱為"反離散余弦變換"，"逆離散余弦變換"或者"IDCT"。

有兩個(gè)相關(guān)的變換，一個(gè)是離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform),它相當(dāng)于一個(gè)長度大概是它兩倍的實(shí)奇函數(shù)的離散傅里葉變換；另一個(gè)是改進(jìn)的離散余弦變換(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相當(dāng)于對交疊的數(shù)據(jù)進(jìn)行離散余弦變換。

離散余弦變換，尤其是它的第二種類型，經(jīng)常被信號(hào)處理和圖像處理使用，用于對信號(hào)和圖像(包括靜止圖像和運(yùn)動(dòng)圖像)進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強(qiáng)的"能量集中"特性:大多數(shù)的自然信號(hào)(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，而且當(dāng)信號(hào)具有接近馬爾科夫過程(Markov processes)的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，離散余弦變換的去相關(guān)性接近于K-L變換(Karhunen-Loève 變換--它具有最優(yōu)的去相關(guān)性)的性能。

例如，在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG中，在運(yùn)動(dòng)圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中都使用了離散余弦變換。在這些標(biāo)準(zhǔn)制中都使用了二維的第二種類型離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。這時(shí)對應(yīng)第二種類型離散余弦變換中的n通常是8，并用該公式對每個(gè)8x8塊的每行進(jìn)行變換，然后每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)8x8的變換系數(shù)矩陣。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置表示不同頻率的交流分量。

一個(gè)類似的變換, 改進(jìn)的離散余弦變換被用在高級(jí)音頻編碼(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音頻壓縮當(dāng)中。

離散余弦變換也經(jīng)常被用來使用譜方法來解偏微分方程，這時(shí)候離散余弦變換的不同的變量對應(yīng)著數(shù)組兩端不同的奇/偶邊界條件。

• 序

• 前言

• 第1章多維度道路照明：理論基礎(chǔ)

• 第2章多維度道路照明：技術(shù)背景

• 第3章多維度道路照明：安全、可靠

• 第4章多維度道路照明：健康、舒適

• 第5章多維度道路照明：高效、節(jié)能

• 第6章多維度道路照明：智慧路燈

• 第7章多維度道路照明：照明系統(tǒng)

• 第8章多維度道路照明：光學(xué)與視覺實(shí)驗(yàn)

• 后記

CP變換（或稱為CP守恒）。C：Charge，電荷；P：Parity，宇稱。CP變換指的是將以微觀物理學(xué)反應(yīng)中先將所有粒子全部置換為反粒子（C變換）；再將整個(gè)過程鏡面對稱（P變換）得到的新反應(yīng)。而CP守恒定律則指一個(gè)存在的，符合物理學(xué)定律的物理學(xué)反應(yīng)，經(jīng)過CP變換后也成立，存在，符合物理學(xué)反應(yīng)。

但目前科技已發(fā)現(xiàn)在極少數(shù)情況下CP不守恒。