反對稱矩陣是指A= - AT(A的轉(zhuǎn)置前加負號) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各數(shù)絕對值相等,符號相反。 于是,對于對角線元素,A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0, 在非偶數(shù)域中,有A(i,i)=0,
中文名稱 | 反對稱矩陣 | 外文名稱 | Skew-symmetric matrix |
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領(lǐng)域 | 高等數(shù)學(xué) | 類別 | 線性代數(shù) |
特點 | A(i,j)=-A(j,i) |
若A為反對稱矩陣:A的階數(shù)為奇數(shù),則A的行列式為0;A的階數(shù)為偶數(shù),則根據(jù)具體情況計算。
如果某向量A點乘向量B等于零,即:AB=0,
則可以找到某反對稱矩陣R,替換向量A,表達成RB=0,
因為,對于向量B=[rx,ry,rz]'和反對稱矩陣R= [0,-rz ry; rz,0,-rx;-ry,rx,0],
我們可以計算,恒有RB=0,
因此,這個時候,可以用矩陣乘以向量的方式表達向量相乘。
這種表達在極線幾何中必然涉及。
注:
轉(zhuǎn)置定義:一個矩陣行列互換就變成它的轉(zhuǎn)置矩陣。
反對稱矩陣定義
對稱矩陣定義是:A=A(A的轉(zhuǎn)置) ,對稱矩陣的元素A(i,j)=A(j,i).
反對稱矩陣定義是:A= - A(A的轉(zhuǎn)置前加負號) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各數(shù)絕對值相等,符號相反。 于是,對于對角線元素,A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0, 在非偶數(shù)域中,有A(i,i)=0,
即反對稱矩陣對角線元素為零( 此性質(zhì)只在非偶數(shù)域中成立。在偶數(shù)域中,由于1+1=0,反對稱矩陣的對角線元素不一定為0)。
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矩陣函數(shù)求導(dǎo) 首先要區(qū)分兩個概念:矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣 (1) 函數(shù)矩陣 ,簡單地說就是多個一般函數(shù)的陣列, 包括單變量和多變量函數(shù)。 函數(shù)矩陣的求導(dǎo)和積分是作用在各個矩陣元素上,沒有更多的規(guī)則。 單變量函數(shù)矩陣的微分與積分 考慮實變量 t 的實函數(shù)矩陣 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ,所有分量函數(shù) ( )ijx t 定義域相同。 定義函數(shù)矩陣的微分與積分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函數(shù)矩陣的微分有以下性質(zhì): (1) ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ; (2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
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輸電線路在參數(shù)不對稱時,傳統(tǒng)的分析方法如對稱分量法失效,此時需要采用模分量方法,此方法的核心在于求解相模變換矩陣。為求解該相模變換矩陣,從標準Clarke變換矩陣出發(fā),通過矩陣變換,得到適用于不對稱線路模分量分析的相模變換矩陣,即改進的Clarke變換矩陣。將上述矩陣應(yīng)用于不對稱輸電線路的模分析,可以有效減少計算量。仿真結(jié)果驗證了該方法的可行性。
實反對稱矩陣(real antisymmetric matrix)一種反對稱矩陣.
定義1 設(shè)A是一個n階方陣,如果AT=-A,則稱A為反對稱矩陣.
性質(zhì)1 任何一個n階矩陣A,均可唯一表為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和,即A=B+C,其中BT=B,CT=-C。
性質(zhì) 2 若 A 是反對稱矩陣,則其主對角線上的元素全為零.
證明 由定義 1 可知成立.
性質(zhì) 3 設(shè) A , B 為 n 階反對稱矩陣, k 為常數(shù) , l 為正整數(shù) ,則:
(1) A ±B , kA , AB - BA 為反對稱矩陣.
(2) AB 為對稱矩陣的充要條件為 AB = BA .
(3)當 l 為奇數(shù)時 , A l 為反對稱矩陣,當 l 為偶數(shù)時 , A l 為對稱矩陣.
證明 利用對稱矩陣與反對稱矩陣的定義直接驗證即可.
性質(zhì) 4 設(shè) A 是任一 n 階矩陣 ,則 A - A T 必為反對稱矩陣.
證明 因為( A - A T) T = A T - ( A T) T = A T - A = - ( A - A T) ,所以 A - A T 為反對稱矩陣.
性質(zhì) 5 設(shè) A 是奇數(shù)階反對稱矩陣 ,則| A| = 0.
證明 因為| A| = | A T| = | - A| = - | A| ,所以| A| = 0.
性質(zhì) 6 設(shè) A 是 n 階反對稱矩陣, B 是 n 階對稱矩陣,則 AB + BA 是 n 階反對稱矩陣.
證明 由定義直接驗證即可.
性質(zhì) 7 設(shè) B 為 n 階實矩陣 ,則 B 為反對稱矩陣的充要條件為對任意 n 維列向量 X ,均 有 X TB X = 0.
證明 必要性:因為 B 為反對稱矩陣,所以 X TB X = X T ( - B T) X = - ( X TB X) T = X TB X ,從而 X TB X = 0. 充分性 :令 B = ( bij) n ×n ,取 X = ei + ej ,其中 ei 表示第 i 個分量是 1 ,其余分量為 0 的 n元列向量. 則 X TB X = ( eT i + eT j ) B ( ei + ej) = eT i Bei + eT i Bej + eT j Bei + eT j Bej = eT i Bej + eT j Bei = bij + bji = 0. 所以 bij = - bji , i , j = 1 ,2 , ?, n. 從而 B 為反對稱矩陣.
性質(zhì) 8 設(shè) A 為 n 階反對稱矩陣, A*為其伴隨矩陣,則 n 為偶數(shù)時, A*為反對稱矩陣;n 為奇數(shù)時 , A*為對稱矩陣.
性質(zhì) 9 設(shè) A 為 n 階可逆反對稱矩陣 ,則 n 為偶數(shù) ,且 A - 1也是反對稱矩陣.