非線性最優(yōu)控制非線性最優(yōu)控制理論研究成果對比

冪級數(shù)展開方法要求系統(tǒng)關(guān)于狀態(tài)向量X解析，才能夠進(jìn)行展開，這在實際工程應(yīng)用中是不現(xiàn)實的Galcrkin逐次逼近法的收斂性過于依賴系統(tǒng)的初值，收斂性在很多情祝下是無法保證的廣義正交多項式級數(shù)展開法和有限差分、有限元方法都是采用不同的數(shù)學(xué)工具來解決近似求解非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，但這兩種方法的計算收斂性不好，所需的巨大計算量也使得它們離工程實際應(yīng)用有很大一段距離狀態(tài)相關(guān)里卡提方程適用于一類仿射非線性系統(tǒng)里卡提方程近似序列方法同樣適用于一類仿射非線性系統(tǒng)，當(dāng)處理高維系統(tǒng)時，其計算量將很大而逐次逼近法，從計算復(fù)雜度看，是對向量迭代，得到的最優(yōu)控制律是由精確的線性反饋項和非線性補(bǔ)償項組成，將最優(yōu)控制的求解轉(zhuǎn)化為非線性補(bǔ)償向量序列的求極限過程，大大減少了計算量，容易被實際工程所應(yīng)用簡言之，逐次逼近法通過較為簡單的計算設(shè)計得到系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制律，具有計算量少，易于工程實現(xiàn)的優(yōu)點，有很好的工程應(yīng)用前景然而，逐次逼近法的缺點在于其對外部擾動和系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動以及未建模動態(tài)敏感，因此提高最優(yōu)控制的魯棒性是非常必要的。2100433B

非線性最優(yōu)控制線性最優(yōu)控制

線性最優(yōu)控制（linear optimal control）最優(yōu)控制問題的實質(zhì)是要找出允許的控制作用（規(guī)律），使得動態(tài)系統(tǒng)（受控對象）從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某種要求的終端狀態(tài)，并且保證某種要求的性能指標(biāo)達(dá)到最?。ù螅＞€性最優(yōu)控制是特指那類受控對象為線性時不變系統(tǒng)的最優(yōu)控制。

線性最優(yōu)控制是最優(yōu)控制的一個特殊類。在線性最優(yōu)控制中，受控制的裝置假設(shè)為線性的，而控制器，即產(chǎn)生最優(yōu)控制作用的裝置也限于是線性的。這就是說，控制器輸出即最優(yōu)控制是與輸人線性相關(guān)，而輸人則是對裝置進(jìn)行測量而產(chǎn)生的量。當(dāng)然，人們一定會問，為什么要特別地研究線性最優(yōu)控制，而不直接研究最優(yōu)控制呢？這里可以提出一些理由。例如，工程上許多實際裝置在其附加控制器之前是線性的，而 且線性控制器在技術(shù)上是最易實現(xiàn)的，且它往往能滿足需要。

非線性最優(yōu)控制區(qū)別

線性和非線性最優(yōu)控制理論之間既有相似之處更有重大區(qū)別。當(dāng)系統(tǒng)為線性的時候，它的解可以由轉(zhuǎn)移函數(shù)表出，特別是在定常情況下，轉(zhuǎn)移函數(shù)有具體表達(dá)式，這就為我們的分析提供了十分便和之處。另一方面，在最大值原理基礎(chǔ)上獲得的Hamilton函數(shù)關(guān)于控制的偏導(dǎo)呈現(xiàn)相對簡單的形式，往往可以求出最優(yōu)反饋率，從而完全解決最優(yōu)控制問題。非線性的情況則復(fù)雜得多，對它的研究也不夠徹底，許多方面還有待進(jìn)一步深入。這個領(lǐng)域的研究有一個十分明顯的特點，那就是多種數(shù)學(xué)理論和方法的綜合運(yùn)用，包括非線性泛函分析、代數(shù)、和微分幾何方法等等。

線性最優(yōu)控制所要求的計算機(jī)程序往往可以用于非線性最優(yōu)控制問題。

目前，較為流行的近似最優(yōu)控制求解方法主要有以下幾類：

非線性最優(yōu)控制冪級數(shù)展開法

冪級數(shù)展開方法通過一個冪級數(shù)來構(gòu)造控制律，得到序列形式的近似最優(yōu)解，或者將系統(tǒng)中的非線性項以冪級數(shù)形式分解，或者通過引進(jìn)一個臨時變量并圍繞它展開。

將上式代入HJB方程求得級數(shù)近似解，也可利用Adomian分解將非線性項進(jìn)行分解。由此尋求非線性HJB方程級數(shù)的近似解。

非線性最優(yōu)控制Galcrkin逐次逼近方法

由動態(tài)規(guī)劃得到的一般性偏微分HJB方引入一個迭代過程來求解一般非線性HJB方程的一個近似解序列

非線性最優(yōu)控制廣義正交多項式級數(shù)展開法

其主要思想是將最優(yōu)控制問題中的狀態(tài)變量，控制輸入，性能指標(biāo)和各個參數(shù)分別用廣義正交多項式展開，利用廣義正交多項式的積分、乘積運(yùn)算陣

將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)方程X=MU N。然后，得到TU=V，當(dāng)T非奇異時，由U=T^-1V得到的控制律是一個多項式級數(shù)解u(t)=θ(t)U。該方法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)極值問題，從而避免了求解時變非線性Riccati方程

非線性最優(yōu)控制有限差分和有限元方法

經(jīng)典的有限差分和有限元方法可以用來近似求解非線性HJB方程近年來，這類方法用來近似求取非線性HJB方程的粘性解。

非線性最優(yōu)控制狀態(tài)相關(guān)Riccati方程方法

這種方法適用的模型是仿射非線性系統(tǒng)。通過極大值原理假設(shè)最優(yōu)控制律具有如下形式。

其中P(x)為下式所述里卡提方程的解

這樣，問題的關(guān)鍵歸結(jié)于近似求解P(x)。狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法通過在P(x)中引入靈敏度參數(shù)變量ε，在ε=o鄰域內(nèi)將P(x)展為冪級數(shù)

通過比較冪級數(shù)同次項系數(shù)將狀態(tài)相關(guān)里卡提方程分解為一組矩陣微分方程序列，由此求得其近似解狀態(tài)相關(guān)里卡提方程方法所設(shè)計的近似最優(yōu)控制律是一種級數(shù)形式的狀態(tài)反饋控制律

非線性最優(yōu)控制Riccati方程近似序列法

該方法對非線性系統(tǒng)構(gòu)造線性時變序列以及相應(yīng)的線性二次型時變性能指標(biāo)，得到線性時變序列的最優(yōu)反饋控制序列

此方法計算量較大，但是當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)不是很大時，較里卡提方程近似序列方法具有很快的收斂速度，并表現(xiàn)出很好的魯棒性。

非線性最優(yōu)控制逐次逼近法

該方法是針對非線性的一次項和高次項可分離的一類非線性系統(tǒng)進(jìn)行近似最優(yōu)控制問題的求解，給出了一種逐次逼近的近似求解方法該方法針對由極大值原理導(dǎo)致的兩點邊值問題，構(gòu)造近似的等價序列將其轉(zhuǎn)化為一組線性非齊次兩點邊值問題序列，通過迭代求解一系列的向量微分方程，包括狀態(tài)向量方程序列和共態(tài)向量方程序列，得到原非線性系統(tǒng)近似最優(yōu)控制問題的解該方法被廣泛應(yīng)用到各類非線性系統(tǒng)，其最大優(yōu)點是在迭代過程中每次計算的不是矩陣微分或代數(shù)方程，而是向量微分或代數(shù)方程，計算量大大減少，而且實時性很高。

非線性最優(yōu)控制簡介

解決最優(yōu)控制問題最大的難點在于HJB方程的求解，只有當(dāng)系統(tǒng)模型是低階線性模型時，才有可能給出具有顯式表達(dá)式的最優(yōu)控制解。在實際系統(tǒng)里，乃至自然界中，幾乎絕大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的系統(tǒng)，想得到具有顯式表達(dá)式的控制量幾乎不可能，這就需要借助計算機(jī)，以及選擇合適的最優(yōu)的數(shù)值解法，以得到最優(yōu)解。一般的，最優(yōu)控制問題的求解方法為數(shù)值算法。極大值原理和動態(tài)規(guī)劃從理論方面研究了最優(yōu)控制所應(yīng)遵循的方程和條件，而最優(yōu)控制的數(shù)值算法則是從計算方面來確定最優(yōu)控制量的具體方法和步驟。

評價最優(yōu)控制數(shù)值算法優(yōu)劣的三個主要方面是算法的收斂性、計算復(fù)雜性以及數(shù)值穩(wěn)定性。算法的收斂性是保證計算過程能達(dá)到正確結(jié)果的前提。算法的計算復(fù)雜性也尤其重要，這對實時控制具有特別重要的意義。一個好的算法應(yīng)使計算量和存儲量盡可能小，以便能由盡可能簡單的計算機(jī)來實現(xiàn)計算。好的算法還應(yīng)具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，即計算的結(jié)果對初始數(shù)據(jù)和運(yùn)算過程的誤差不能過于敏感，同時具有處理病態(tài)問題的能力。典型的最優(yōu)控制數(shù)值算法包括:求解由極大值原理導(dǎo)出的微分或差分方程的兩點邊值問題的各種算法，對動態(tài)規(guī)劃中的貝爾曼方程進(jìn)行數(shù)值求解_的算法，求解線性二次型最優(yōu)控制問題的黎卡提方程的各種算法，處理控制或狀態(tài)受約束問題的懲罰函數(shù)法，在控制策略的函數(shù)空間中利用搜索尋優(yōu)或梯度尋優(yōu)技術(shù)和牛頓一拉夫森方法等直接求解非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的算法等。其中，針對非線性系統(tǒng)的開環(huán)最優(yōu)控制問題和線性二次型最優(yōu)控制問題展開的數(shù)值算法研究尤多。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題間接求解法

在間接法中，我們依靠最小值原理和其它一些必要條件得到一個兩點邊值問題，然后通過數(shù)值求解該問題得到相應(yīng)的最優(yōu)軌跡。在幾種基于打靶法求解兩點邊值問題的方法中，多重打靶法是最引人矚目的。而其它的一些間接數(shù)值求解法，比如伴隨方程的向前一向后積分法、函數(shù)空間梯度法等，在過去的幾年中應(yīng)用并不十分廣泛。間接法的主要優(yōu)點是解的精度高，同時方法保證了求解滿足最優(yōu)條件。然而間接法常常會遇到比較嚴(yán)重的解的收斂性問題。如果在求解中，沒有關(guān)于系統(tǒng)初始值的一個好的選取，或是沒有關(guān)于約束和非約束下系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的先驗知識，收斂過程可能需要花費(fèi)很長的計算時間，甚至可能根本無法找到最優(yōu)解。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題直接求解法

在直接法中，連續(xù)性的最優(yōu)控制問題通過參數(shù)化的過程被轉(zhuǎn)化為了一個有限維的優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化后的問題可以通過一些已有的比較成熟的約束優(yōu)化算法進(jìn)行數(shù)值求解。相對于間接法而言，直接法無需考慮最優(yōu)化條件，而是直接求解問題本身。直接法不易受到收斂問題的影響，但估計的精度不如間接法。最優(yōu)的必要條件不是直接滿足的，而且伴隨量的估計精度有時也會很差?，F(xiàn)在比較常用的幾種直接求解方法包括最優(yōu)參數(shù)控制法，有限差分方法，配點法，微分包含方法和偽譜方法。在最優(yōu)參數(shù)控制法中，控制量被單獨參數(shù)化，同時數(shù)值積分方法被用來求解微分方程;在有限差分方法中，原微分方程和邊界條件被近似為有限差分方程組:在配點法中，狀態(tài)量和控制量同時被參數(shù)化，在各個節(jié)點處，局部分段多項式被用來近似微分方程;微分包含方法只是將狀態(tài)量參數(shù)化，并使用由速端曲線定義的狀態(tài)變化率;在偽譜方法中，通過全局多項式將狀態(tài)量和控制量同時參數(shù)化，積分方程和微分方程通過求積法被近似。配點法和偽譜方法的一個重要的特點就是伴隨量的相合估計。

為了解決最優(yōu)控制問題，必須建立描述受控運(yùn)動過程的運(yùn)動方程，給出控制變量的允許取值范圍，指定運(yùn)動過程的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，并且規(guī)定一個評價運(yùn)動過程品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)。通常，性能指標(biāo)的好壞取決于所選擇的控制函數(shù)和相應(yīng)的運(yùn)動狀態(tài)。系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)受到運(yùn)動方程的約束，而控制函數(shù)只能在允許的范圍內(nèi)選取。因此，從數(shù)學(xué)上看，確定最優(yōu)控制問題可以表述為：在運(yùn)動方程和允許控制范圍的約束下，對以控制函數(shù)和運(yùn)動狀態(tài)為變量的性能指標(biāo)函數(shù)（稱為泛函）求取極值（極大值或極小值）。解決最優(yōu)控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃。

對于非線性系統(tǒng)，其最優(yōu)控制的解一般是不存在的再加上非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性，這方面的研究成果還很少，尚待解決的問題還很多，本文對非線性最優(yōu)控制理論現(xiàn)有研究成果對比進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并對其優(yōu)缺點進(jìn)行了客觀的對比，為非線性最優(yōu)控制理論的進(jìn)一步研究提供參考。

近年來，最優(yōu)控制理論的研究，無論在深度和廣度上，都有了很大的發(fā)展，已成為系統(tǒng)與控制領(lǐng)域最熱門的研究課題之一，取得了許多研究成果同時，也在與其他控制理論相互滲透，出現(xiàn)了許多新的最優(yōu)控制方式，形成了更為實用的學(xué)科分支例如魯棒最優(yōu)控制、隨機(jī)最優(yōu)控制、分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制、大系統(tǒng)的次優(yōu)控制網(wǎng)、離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制及最優(yōu)滑模變結(jié)構(gòu)控制nxi等而對于非線性系統(tǒng)，其最優(yōu)控制求解相當(dāng)困難，需要求解非線性HJB方程或非線性兩點邊值問題，除簡單情祝外，這兩個問題都無法得到解析。因此，許多學(xué)者都致力于尋求近似的求解方法，通過近似解得到近似的最優(yōu)控，即次優(yōu)控制。

20世紀(jì)60年代初，由于空間技術(shù)的迅猛發(fā)展和計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，使得動態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)化理論得到了迅速發(fā)展，形成了最優(yōu)控制這一重要的學(xué)科分支。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的一個重要組成部分。最優(yōu)控制問題大都是從具體工程實踐中歸納和提煉出來的，隨著最優(yōu)控制理論的不斷完善，其在航空、航天、工業(yè)過程控制、經(jīng)濟(jì)管理與決策以及人口控制等領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用，并取得了顯著的成就。

最優(yōu)控制是使被控系統(tǒng)的性能指標(biāo)實現(xiàn)最優(yōu)化的一種綜合策略，可概括為，對一個受控的動力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制策略，使系統(tǒng)的運(yùn)動在由某個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。最優(yōu)控制問題廣泛存在實際的生產(chǎn)中，可以說最優(yōu)控制問題無處不在。例如，對于吊車系統(tǒng)的吊運(yùn)控制問題，希望在吊運(yùn)過程中，擺角越小越好，同時吊運(yùn)時間越短越好;對于機(jī)械臂系統(tǒng)的控制問題，期望機(jī)械臂系統(tǒng)的跟蹤誤差越小越好;對于行星著陸器的動力下降段的控制問題，期望對參考軌跡的跟蹤效果好以及燃料消耗最少。

最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制理論在電力系統(tǒng)勵磁控制中的應(yīng)用

隨著現(xiàn)代控制理論及其實際應(yīng)用的不斷發(fā)展，運(yùn)用現(xiàn)代控制理論進(jìn)行電力系統(tǒng)運(yùn)行性能的最優(yōu)化控制的研究工作有了迅速的發(fā)展，對如何按最優(yōu)化的方法設(shè)計多參量的勵磁調(diào)節(jié)器也取得了很大進(jìn)展。

（1）基于非線性最優(yōu)和PID技術(shù)的綜合勵磁調(diào)節(jié)器

對于非線性系統(tǒng)的同步發(fā)電機(jī)而言，當(dāng)它偏離系統(tǒng)工作點或系統(tǒng)發(fā)生較大擾動時，如果仍然采用基于PID技術(shù)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器，就會出現(xiàn)誤差。為此，可以將其用基于非線性最優(yōu)控制技術(shù)的勵磁調(diào)節(jié)器。但是，非線性最優(yōu)控制調(diào)節(jié)器存在著對電壓控制能力較弱的缺點，所以用一種能夠?qū)⒎蔷€性最優(yōu)勵磁調(diào)節(jié)器和PID技術(shù)的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器有機(jī)結(jié)合的新型勵磁調(diào)節(jié)器的設(shè)計原理。

此綜合勵磁調(diào)節(jié)器是利用非線性最優(yōu)控制理論的研究成果，其在非線性的勵磁控制中采用了精確線性化的數(shù)學(xué)方法，不存在平衡點線性化后的舍入誤差，因此該控制的數(shù)學(xué)模型在理論上對發(fā)電機(jī)的所有運(yùn)行點都是精確的；同時針對非線性的勵磁控制調(diào)壓能力較弱的特點，又增加了PID環(huán)節(jié)，使其具有較強(qiáng)的電壓調(diào)節(jié)特性此裝置在小機(jī)組試驗中取得非常好的實驗效果，在平衡點附近運(yùn)行和偏離平衡點較多時都具有很好的調(diào)節(jié)特性。

（2）自適應(yīng)最優(yōu)勵磁控制器

將自適應(yīng)控制理論與最優(yōu)控制理論相結(jié)合，通過多變量參數(shù)辨識、最優(yōu)反饋系數(shù)計算和控制算法運(yùn)算三個環(huán)節(jié)，可以實現(xiàn)同步發(fā)電機(jī)勵磁的自適應(yīng)最優(yōu)控制。

此發(fā)電機(jī)自適應(yīng)最優(yōu)勵磁方案，通過采用由帶可變遺忘因子的最小二乘算法構(gòu)成的多變量實時辨識器，使系統(tǒng)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A和B中的元素值隨系統(tǒng)運(yùn)行工況的變化而變化，再經(jīng)過最優(yōu)反饋系數(shù)計算，實現(xiàn)了同步電機(jī)的自適應(yīng)最優(yōu)勵磁控制。

雖然使用線性最優(yōu)控制理論求取反饋系數(shù)，但由于狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣中的元素值隨系統(tǒng)運(yùn)行工況的變化而變化，因而控制作用體現(xiàn)了電力系統(tǒng)的非線性特性，本質(zhì)上是一種非線性控制。

數(shù)字仿真試驗結(jié)果表明，該勵磁控制系統(tǒng)能夠自動跟蹤系統(tǒng)運(yùn)行工作狀況，在線辨識不斷變化的系統(tǒng)參數(shù)，使控制作用始終處于最優(yōu)狀態(tài)。從而改善了控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，可以提高電力系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。

（3）基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法的非線性勵磁控制

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性函數(shù)逼近學(xué)習(xí)能力和逆系統(tǒng)方法的線性化能力相結(jié)合，構(gòu)造出物理可實現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)，從而實現(xiàn)了對被控系統(tǒng)的大范圍線性化，能夠在無需系統(tǒng)參數(shù)的情況下構(gòu)造出偽線性復(fù)合系統(tǒng)，從而將非線性系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為線性系的控制問題。

在大干擾情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法的控制器暫態(tài)時間很短，超調(diào)量很小，有效地改善了系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)品質(zhì)，提高了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此控制器還具有很好的魯棒性能。另外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆系統(tǒng)方法無需知道原系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及參數(shù)，，也不需要測量被控系統(tǒng)的狀態(tài)量，僅需要知道被控系統(tǒng)可逆及輸入輸出微分方程的階數(shù)，且結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實現(xiàn)。

（4）基于灰色預(yù)測控制算法的最優(yōu)勵磁控制

預(yù)測控制是一種計算機(jī)算法，它采用多步預(yù)測的方式增加了反映過程未來變化趨勢的信息量，因而能克服不確定性因素和復(fù)雜變化的影響?；疑A(yù)測控制是預(yù)測控制的一個分支，它需建立灰微分方程，能較好地對系統(tǒng)作全面的分析。應(yīng)用GM(1，N)對發(fā)電機(jī)的功率偏差、轉(zhuǎn)速偏差、電壓偏差序列值進(jìn)行建模，經(jīng)全面分析后求出各狀態(tài)量的預(yù)測值，同時根據(jù)最優(yōu)控制理論求出以預(yù)測值為狀態(tài)變量的被控勵磁控制系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益，從而得出具有預(yù)測信息的最優(yōu)勵磁控制量。

灰色預(yù)測控制理論中灰色建模和“超前控制”的思想較好地彌補(bǔ)了線性最優(yōu)控制理論中精確線性化和“事后控制”對單機(jī)無窮大系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明，此勵磁控制具有響應(yīng)速度快、準(zhǔn)確度高的特點，使電力系統(tǒng)在大小擾動下均能表現(xiàn)出較好的動態(tài)特性。

最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用

目前研究最優(yōu)控制理論最活躍的領(lǐng)域有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、模擬退火算法、趨化性算法、遺傳算法、魯棒控制、預(yù)測控制、混沌優(yōu)化控制以及穩(wěn)態(tài)遞階控制等。

（1）Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計一般基于專家的經(jīng)驗和實踐。應(yīng)用最廣泛的是誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，簡稱BP網(wǎng)絡(luò)，是一種具有3層或3層以上的階層型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，網(wǎng)絡(luò)總是朝著能量函數(shù)遞減的方向運(yùn)動，并最后到達(dá)系統(tǒng)的平衡點。也就是說:Hopfield能量函數(shù)的極小點就是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點，只要得到系統(tǒng)的平衡點即得到能量函數(shù)的極小點。如果把全局優(yōu)化理論運(yùn)用到控制系統(tǒng)中，則控制系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)最終到達(dá)的正是所希望的最小點。

（2）模擬退火算法

1983年，Kirkpatrick與其合作者提出了模擬退火(SA)的方法，它是求解單目標(biāo)多變量最優(yōu)化問題的一項Monte-Caula技術(shù)。該法是一種物理過程的人工模擬，它基于液體結(jié)晶或金屬的退火過程。液體和金屬物體在加熱至一定溫度后，它們所有的分子、原子在狀態(tài)空間D中自由運(yùn)動。隨著溫度的下降，這些分子、原子逐漸停留在不同的狀態(tài)。當(dāng)溫度降到相當(dāng)?shù)蜁r，這些分子、原子則重新以一定的結(jié)構(gòu)排列，形成了一個全部由有序排列的原子構(gòu)成的晶體結(jié)構(gòu)。模擬退火法已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)調(diào)度、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、圖像處理等方面。

（3）趨化性算法

趨化性算法(CA)是模擬細(xì)菌生長過程中的趨光性原理而提出的一種隨機(jī)優(yōu)化方法。它的特點是結(jié)構(gòu)簡單、使用方便。在搜索過程中，CA只向使解的性能變好的方向搜索，能否跳出局部極小點依賴于方差的大小，其全局搜索能力比模擬退火方法和遺傳算法差，但局部搜索能力較強(qiáng)，收斂速度較快。

（4）遺傳算法

遺傳算法(GA)是一種模擬自然選擇和遺傳的隨機(jī)搜索算法，是模擬自然界中按“優(yōu)勝劣汰”法則進(jìn)行進(jìn)化過程的一種高度并行、隨機(jī)和自適應(yīng)的優(yōu)化算法。它將問題的求解表示成“染色體”的適者生存過程，通過“染色體”群的一代代不斷進(jìn)化，包括復(fù)制、交叉和變異等操作，最終收斂于“最適應(yīng)環(huán)境”的個體，從而求得問題的最優(yōu)解或滿意解。GA是一種通用的優(yōu)化算法，其編碼技術(shù)和遺傳操作比較簡單，優(yōu)化不受限制型條件的約束，而其2個最顯著特點則是隱含并行性和全局解空間搜索。隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，GA愈來愈得到人們的重視，并在機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識別、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、優(yōu)化控制、組合優(yōu)化、VLSI設(shè)計、遺傳學(xué)等領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。

（5）魯棒控制

魯棒控制是針對不確定性系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的設(shè)計方法，其理論主要研究的問題是不確定性系統(tǒng)的描述方法、魯棒控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法以及魯棒控制理論的應(yīng)用領(lǐng)域。魯棒控制理論發(fā)展的最突出的標(biāo)志之一是H∞控制。H∞控制從本質(zhì)上可以說是頻域內(nèi)的最優(yōu)控制理論。魯棒控制與最優(yōu)控制結(jié)合解決許多如線性二次型控制、電機(jī)調(diào)速、跟蹤控制、采樣控制、離散系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、擾動抑制等實際問題。

（6）預(yù)測控制

預(yù)測控制又稱為基于模型的控制，是一類新型計算機(jī)優(yōu)化控制算法，其本質(zhì)特征是預(yù)測模型，滾動優(yōu)化和反饋校正。滾動優(yōu)化反復(fù)在線進(jìn)行，不同時刻優(yōu)化性能指標(biāo)的時間區(qū)域及絕對形式均不同。這種滾動優(yōu)化能對系統(tǒng)因多種因素而引起的不確定性進(jìn)行及時彌補(bǔ)，始終把新的優(yōu)化建立在實際的基礎(chǔ)之上，使控制系統(tǒng)保持實際上的最優(yōu)。

（7）混沌優(yōu)化控制

混沌是一種普遍的非線性現(xiàn)象，是指在確定性非線性系統(tǒng)中不需附加任何隨機(jī)因素亦可出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為，但存在精致的內(nèi)在規(guī)律性?；煦邕\(yùn)動具有隨機(jī)性、遍歷性、規(guī)律性等特點?；煦邕\(yùn)動的基本特征是運(yùn)動軌道的不穩(wěn)定性，表現(xiàn)為對初值的敏感依賴性或?qū)π_動的極端敏感性?；煦邕\(yùn)動在一定的范圍內(nèi)按其自身的規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)，這種遍歷性可被用來進(jìn)行優(yōu)化搜索且能避免陷入局部極小。因此，混沌優(yōu)化技術(shù)已成為一種新興的搜索優(yōu)化技術(shù)。

（8）穩(wěn)態(tài)遞階控制

遞階控制是一種計算機(jī)在線穩(wěn)態(tài)優(yōu)化的控制結(jié)構(gòu)，其指導(dǎo)思想是將一大系統(tǒng)分解為若干個互相關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)，即把大系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題分解為各子系統(tǒng)的問題。在各個子系統(tǒng)之上設(shè)置一協(xié)調(diào)器，判斷所得的子系統(tǒng)求解子問題結(jié)果是否適合整個大系統(tǒng)的最優(yōu)控制，若否，則指示各子系統(tǒng)修改子問題并重新計算。通過協(xié)調(diào)器的相互迭代求解即可得到最優(yōu)解。

最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制理論在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

最優(yōu)控制理論在管理科學(xué)方面的應(yīng)用已取得了很多極有價值的應(yīng)用成果。其中代表性的是美國學(xué)者S.P.塞申和G.L.湯普生所著的《最優(yōu)化管理》一書 。書中概述了最優(yōu)控制理論在金融中的最優(yōu)投資、生產(chǎn)與庫存、推銷、機(jī)器設(shè)備的保養(yǎng)與更換等問題的應(yīng)用;在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用主要是根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)相互依賴關(guān)系的計量經(jīng)濟(jì)模型提供經(jīng)濟(jì)預(yù)測，解釋經(jīng)濟(jì)問題的動態(tài)行為。朱道立編著的《大系統(tǒng)優(yōu)化理論與應(yīng)用》中運(yùn)用最優(yōu)控制理論建立經(jīng)濟(jì)模型，用GRG算法來解釋經(jīng)濟(jì)問題，形成經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的經(jīng)濟(jì)最優(yōu)控制 。許多專家在研究動態(tài)最優(yōu)穩(wěn)定性經(jīng)濟(jì)政策中也論證了最優(yōu)控制在經(jīng)濟(jì)方面的突出作用。在自然資源和人口方面可以應(yīng)用最優(yōu)控制理論來分配不可再生資源和可再生資源。此外，最優(yōu)控制在人才分配方面的應(yīng)用也有研究報道。

這方面的開創(chuàng)性工作主要是由貝爾曼（R.E.Bellman）提出的動態(tài)規(guī)劃和龐特里亞金等人提出的最大值原理。這方面的先期工作應(yīng)該追溯到維納（N.Wiener）等人奠基的控制論（Cybernetics）。1948年維納發(fā)表了題為《控制論—關(guān)于動物和機(jī)器中控制與通訊的科學(xué)》的論文，第一次科學(xué)的提出了信息、反饋和控制的概念，為最優(yōu)控制理論的誕生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

最優(yōu)控制理論所研究的問題可以概括為：對一個受控的動力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動在由某個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。這類問題廣泛存在于技術(shù)領(lǐng)域或社會問題中。

例如，確定一個最優(yōu)控制方式使空間飛行器由一個軌道轉(zhuǎn)換到另一軌道過程中燃料消耗最少，選擇一個溫度的調(diào)節(jié)規(guī)律和相應(yīng)的原料配比使化工反應(yīng)過程的產(chǎn)量最多，制定一項最合理的人口政策使人口發(fā)展過程中老化指數(shù)、撫養(yǎng)指數(shù)和勞動力指數(shù)等為最優(yōu)等，都是一些典型的最優(yōu)控制問題。最優(yōu)控制理論是50年代中期在空間技術(shù)的推動下開始形成和發(fā)展起來的。蘇聯(lián)學(xué)者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學(xué)者R.貝爾曼1956年提出的動態(tài)規(guī)劃，對最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展起了重要的作用。線性系統(tǒng)在二次型性能指標(biāo)下的最優(yōu)控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。