局部連通

一個拓撲空間被認為是局部連通的，如果空間中的每一點的任何一個鄰域都包含這個點的一個連通鄰域。這里所說的連通鄰域，就是指這個鄰域所誘導(dǎo)的子拓撲空間按照上面的定義是一個連通空間。 也可以從拓撲基的角度定義局部連通空間:局部連通空間的拓撲基完全是由連通的集合組成的。

如果對空間 X 中任兩點 x,y，都存在連續(xù)函數(shù) γ:[0，1]→X 使得 γ(0) = x,γ(1) = y，則稱 X 為道路連通空間。若定義中的 γ 可取為使得[0，1]→γ([0，1]) 為同胚，則稱之為弧連通空間。道路連通的豪斯多夫空間必為弧連通空間。

道路連通性保連通性，反之則不然。

拓撲空間的極大連通子集稱作連通單元，每個空間都能表成它的連通單元的不相交聯(lián)集。連通單元必然是閉的，在夠好的空間(如流形、代數(shù)簇)上也同時是開的，但并非總是如此。例如有理數(shù)集上的連通單元都是單元素集合。如果一個空間的連通單元都是單元素集合，則叫做全不連通空間。代數(shù)數(shù)論中構(gòu)造的許多拓撲空間都屬于這一類。

例如。在具有0,1值的二值圖像中，兩個像素可能是4鄰接的，但僅僅當(dāng)它們具有同一灰度值時，才能說是連通的。

在圖論中，連通圖基于連通的概念。在一個無向圖 G 中，若從頂點vi到頂點vj有路徑相連(當(dāng)然從vj到vi也一定有路徑)，則稱vi和vj是連通的。如果 G 是有向圖，那么連接vi和vj的路徑中所有的邊都必須同向。如果圖中任意兩點都是連通的，那么圖被稱作連通圖。如果此圖是有向圖，則稱為強連通圖(注意:需要雙向都有路徑)。圖的連通性是圖的基本性質(zhì)。

【連通的性質(zhì)】

1. 實數(shù)集的子集是連通的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個區(qū)間

2. 連通性由同胚保持，從而是空間的拓撲性質(zhì)

3. 設(shè)Ω是X的一族子集，它們的并是整個空間X，每個Ω中的成員連通，且兩兩不分離（即任意兩個集合的閉包有非空交），則X連通

4. 若X,Y連通，則乘積空間X×Y連通