開關(guān)代數(shù)開關(guān)代數(shù)的性質(zhì)

現(xiàn)在來(lái)研究開關(guān)代數(shù)的一組性質(zhì)(這些性質(zhì)有時(shí)稱為定理)。

1.結(jié)合律：(a b) c=a (b c) ，

(a·b)·c=a·(b·c).

2.交換律：a b=b a， a·b=b·a.

3.分配律：a·(b c)=(a·b) (a·c)，

a (b·c)=(a b)·(a c).

4.吸收律：a a·b=a， a·(a b)=a.

5.冪等律：a a=a， a·a=a.

6.德·摩根律(反演律)：(a b)′=a′·b′，

(a·b)′=a′ b′.

7.對(duì)合律(雙重否定律)：(a′)′=a.

8.互補(bǔ)律：a a′=1， a·a′=0.

9.零一律(幺元律)：a 0=a， a·1=a.

10.囿元律(極元律)：a 1=1， a·0=0.

①或 OR(記作 )

a b(讀作a或b)，當(dāng)且僅當(dāng)a=1或b=1或二者都為1時(shí)，它等于1

②與AND(記作·或干脆把兩個(gè)變量連寫)

a·b=ab(讀作a與b)，當(dāng)且僅當(dāng)a=1并且b=1時(shí)，它等于1

③非 NOT(記作'或字母上加短橫線)

a'(讀作a非)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，它等于1。

術(shù)語(yǔ)反有時(shí)被用來(lái)代替非，其運(yùn)算是指求反，實(shí)現(xiàn)它的器件經(jīng)常被稱為反相器。

因?yàn)榛虻姆?hào)與普通代數(shù)中加的符號(hào)相同，與的符號(hào)與普通代數(shù)中乘的符號(hào)相同，所以一般用術(shù)語(yǔ)“和”和“積”。因此，ab經(jīng)常指一個(gè)積項(xiàng)，a b為一和項(xiàng)。下面討論的許多性質(zhì)適用于普通代數(shù)，同時(shí)也適用于開關(guān)代數(shù)。但是，正像將要看到的，有一些明顯的例外 。

三種運(yùn)算符的真值表如表1、2、3所示。

開關(guān)代數(shù)是二值代數(shù)，即所有的變量和常數(shù)只取兩個(gè)值之一：0或1。不是自然二進(jìn)制的量必須被編碼為二進(jìn)制格式。在物理上，它們可以代表一個(gè)燈的開和關(guān)，一個(gè)開關(guān)的合和開，一個(gè)低電壓和一個(gè)高電壓，一個(gè)在一個(gè)方向或另一個(gè)方向的磁場(chǎng)。開關(guān)代數(shù)是邏輯代數(shù)的一種應(yīng)用。研究由開關(guān)的并聯(lián)和串聯(lián)所構(gòu)成的電路的通斷情況。以變?cè)硎鹃_關(guān);數(shù)字0，1分別表示開關(guān)的斷開與接通;3種基本運(yùn)算“-”、“∧”、“∨”（即： -，∩，∪）表示開關(guān)的基本連接方式：反相、串聯(lián)、并聯(lián)（反向可以用字母上加短橫線也可以用'表示）。用代數(shù)方法解決開關(guān)線路的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題。在電子計(jì)算機(jī)、自動(dòng)程序控制、電話交換系統(tǒng)中有廣泛應(yīng)用。依據(jù)代數(shù)的觀點(diǎn)，是什么物理意義無(wú)關(guān)緊要。在實(shí)驗(yàn)室中，將選擇其中一種物理表象來(lái)表示其中一個(gè)值。

下面首先定義開關(guān)代數(shù)的三個(gè)運(yùn)算符號(hào)，然后研究開關(guān)代數(shù)的若干性質(zhì) 。

構(gòu)成開關(guān)電路的基本單元。每一種門電路的輸入與輸出之間，都有一定的邏輯關(guān)系。這里邏輯是指“條件”與“結(jié)果”的關(guān)系。利用電路的輸入信號(hào)反映“條件”，而用電路的輸出反映“結(jié)果”，從而使電路的輸出、輸入之間代表了一定的邏輯關(guān)系。最基本的邏輯關(guān)系可以歸結(jié)為與、或、非三種。其他復(fù)雜的邏輯關(guān)系都是由這三種基本邏輯關(guān)系組合而成的，因此可以利用基本門電路(見與門、或門、非門、異或門)組成具有各種邏輯功能的數(shù)字電路。除基本門電路之外，常用的門電路還有與非、或非、與或非等門電路。所有門電路都有系列化集成電路產(chǎn)品供選用。

在邏輯電路中，存在著兩種相互對(duì)立的邏輯狀態(tài)，例如電位的“高”與“低”，脈沖的“有”與“無(wú)”，開關(guān)的“合”與“開”，事物的“真”與“假”等。通常用符號(hào)0和1表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)，稱為邏輯0和邏輯1。這樣就可選用各種僅具有兩種狀態(tài)的元件來(lái)組成各種邏輯功能的電路，如繼電器、開關(guān)、二極管和三極管、集成門電路等。

在邏輯電路中，有兩種邏輯體制：一種用1表示高電位，用0表示低電位，這就是“正邏輯體制”。另一種是用1表示低電位，用0表示高電位，這就是“負(fù)邏輯體制”。

對(duì)于同一電路，可以用正邏輯體制，也可以用負(fù)邏輯體制。根據(jù)所選用正負(fù)邏輯體制的不同，即使同一電路也具有不同的邏輯功能。

在邏輯電路中，電位的高、低常用高電平、低電平來(lái)描述，單位為V(伏)。由于溫度變化、電源電壓波動(dòng)、干擾及元件特性變化等因素的影響，實(shí)際的高電平和低電平都不是一個(gè)固定數(shù)值，因此通?？紤]一個(gè)電平變化范圍。如果電平在此范圍內(nèi)，就判斷為1狀態(tài)或0狀態(tài) 。