空間幾何體

前段時(shí)間在高三教學(xué)中遇到這樣的問題：

在高考立體幾何考點(diǎn)中涉及到空間幾何體的截面的地方較多， 如：判斷截面的形狀、計(jì)算出空間幾何體的截面周長(zhǎng)或面積、或者求與之相關(guān)的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，都必須首先掌握空間幾何體截面的作圖。

在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個(gè)基本問題。而已知不共線三點(diǎn)，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題的一個(gè)方法，也是深化理解空間點(diǎn)線面關(guān)系的一個(gè)很好的途徑。

作幾何體的截面，是立休幾何教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，需要較強(qiáng)的空間想象能力和動(dòng)手操作能力，正確判斷幾何體被一個(gè)平面所截的截面形狀，關(guān)鍵在于弄清這個(gè)平面與幾何體的面相交成線的形狀和位置。讓學(xué)生掌握作幾伺體截面的方法，有助于深入理解直線和平面的有關(guān)性質(zhì)，有效地形成空間概念。

一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，這個(gè)平面和幾伺體的各個(gè)面交線，圍成一個(gè)封閉的平面圖形，這個(gè)封閉圖形就稱為幾何體的截面。如果幾何體是多面體，其截面是多面形；如果幾何體是旋轉(zhuǎn)體，其截面還可能是二次曲線所圍成的封閉圖形。

截面的問題的研究，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，綜合運(yùn)用立體幾何各方面的知識(shí)技能，提高學(xué)生的解題能力，都是十分有啟發(fā)、思考價(jià)值的題材、是立體幾何重要的學(xué)習(xí)目的；而對(duì)學(xué)生進(jìn)行空間幾何體截面的作圖等訓(xùn)練正是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的這一能力，同時(shí)也成為了促進(jìn)學(xué)生綜合運(yùn)用空間構(gòu)圖方面知識(shí)開發(fā)教學(xué)興趣點(diǎn)的拓展課題。

接下來小編從原理和操作兩個(gè)層面介紹較復(fù)雜的不平行于底面的截面問題的解決方案以供參考。

空間幾何體的截面的作圖主要原理：兩個(gè)公理及兩個(gè)性質(zhì)。

其中，兩個(gè)公理為：

（1）如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線；

（2）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

兩個(gè)性質(zhì)為：

（1）如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行；

（2）如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行。

空間幾何體的計(jì)算要掌握好“定位”、“定形”、“定量”這三個(gè)主要的環(huán)節(jié)。首先，由上面所講到的方法確定出關(guān)鍵點(diǎn)。其次，由關(guān)鍵點(diǎn)確定截面與空間幾何體相關(guān)的交線。再次，是根據(jù)問題中已知的條件與空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系確定截面的基本特征。最后，運(yùn)用平面解析幾何的有關(guān)性質(zhì)定理與判定定理完成截面相關(guān)截面邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、或者面積等數(shù)量計(jì)算。

空間幾何體的截面作圖主要的作法：直接法、平行線法、延長(zhǎng)法、輔助平面法，接下來，我們依次展開。

一、直接法

用直接法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點(diǎn)在幾何體的棱上，且兩兩在一個(gè)平面內(nèi)，我們可以借助于公理：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，直接解決這類問題。

二、平行線法

用平行線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與截面上某點(diǎn)在幾何體的某一個(gè)表面平行。我們可以借助于兩個(gè)性質(zhì)，（1）如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行；（2）如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行。直接解決這類問題。

三、延長(zhǎng)線法

用延長(zhǎng)線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)幾何體的一個(gè)表面上，我們可以借助于公理，如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。直接解決這類問題。

四、輔助平面法