逆矩陣

A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩陣A的逆矩陣，其中|A|為矩陣A的行列式，A*為矩陣A的伴隨矩陣。

逆矩陣的另外一種常用的求法:

(A|E)經(jīng)過初等變換得到(E|A^(-1))。

注意:初等變化只用行(列)運(yùn)算，不能用列(行)運(yùn)算。E為單位矩陣。

一般計(jì)算中，或者判斷中還會(huì)遇到以下11種情況來判斷是否為可逆矩陣:

1 秩等于行數(shù)

2 行列式不為0

3 行向量(或列向量)是線性無關(guān)組

4 存在一個(gè)矩陣,與它的乘積是單位陣

5 作為線性方程組的系數(shù)有唯一解

6 滿秩

7 可以經(jīng)過初等行變換化為單位矩陣

8 伴隨矩陣可逆

9 可以表示成初等矩陣的乘積

10 它的轉(zhuǎn)置矩陣可逆

11 它去左(右)乘另一個(gè)矩陣,秩不變

inv(a)或a^-1。

例如:

>> a =

8 4 9

2 3 5

7 6 1

>> a^-1

ans =

0.1636 -0.3030 0.0424

-0.2000 0.3333 0.1333

0.0545 0.1212 -0.0970

>> inv(a)

ans =

0.1636 -0.3030 0.0424

-0.2000 0.3333 0.1333

0.0545 0.1212 -0.0970

以下是對(duì)MATLAB中Inv用法的解釋。

原文(來自matlab help doc)

In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv

arises when solving the system of linear equations Ax=B .

One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = A\b.

實(shí)際上，很少需要矩陣逆的精確值。在解方程 Ax=B的時(shí)候可以使用x = inv(A)*B，

但通常我們求解這種形式的線性方程時(shí)，不必要求出A的逆矩陣，在MATLAB中精度更高，速度更快的方法是用左除--x = A\b。

另外，用LU分解法的速度更快，只是要多寫一條LU分解語句。

速度可以通過matlab中tic和toc來估算運(yùn)行的時(shí)間。

A是可逆矩陣的充分必要條件是∣A∣≠0，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。(當(dāng)∣A∣=0時(shí)，A稱為奇異矩陣)

1 矩陣A可逆的充要條件是A的行列式不等于0。

2 可逆矩陣一定是方陣。

3 如果矩陣A是可逆的，A的逆矩陣是唯一的。

4 可逆矩陣也被稱為非奇異矩陣、滿秩矩陣。

5 兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。

6 可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也可逆。

7 矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。

《廣義逆矩陣的理論與方法》除了介紹廣義逆矩陣的一些基本知識(shí)外，主要反映在前述關(guān)于廣義逆矩陣的理論、計(jì)算與應(yīng)用的諸多方面的新成果。并將《廣義逆矩陣的理論與方法》奉獻(xiàn)給有志于廣義逆矩陣的學(xué)習(xí)與研究的讀者，以期對(duì)廣義逆矩陣研究的進(jìn)一步發(fā)展有所裨益?！稄V義逆矩陣的理論與方法》可以作為高等院校數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)高年級(jí)學(xué)生與研究生的一學(xué)期用教材(約60學(xué)時(shí))，也可供高校其他專業(yè)師生與工程技術(shù)人員自學(xué)參考之用。

《廣義逆矩陣及其應(yīng)用》系統(tǒng)地論述廣義逆矩陣的理論、方法和應(yīng)用。全書共分十章。第一章引進(jìn)了廣義逆矩陣的定義，介紹了歷史發(fā)展概況。第二章從適于《廣義逆矩陣及其應(yīng)用》討論的角度概述了矩陣論中的若干預(yù)備知識(shí)。接下來的六章系統(tǒng)地討論了由Moore Penrose方程所定義的各種廣義逆的性質(zhì)、不等式、計(jì)算方法及一些直接應(yīng)用。最后兩章介紹廣義逆在概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、數(shù)值計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)理論等學(xué)科的應(yīng)用。書后附有百余篇參考文獻(xiàn)。

《廣義逆矩陣及其應(yīng)用》讀者對(duì)象為高等院校數(shù)學(xué)、物理、工程、經(jīng)濟(jì)等有關(guān)專業(yè)的教師、高年級(jí)學(xué)生和研究生，也可供所有使用矩陣這一數(shù)學(xué)工具的廣大科技工作者閱讀.