若干最優(yōu)控制問題的有限元方法

本課題研究若干具有重要應(yīng)用背景的偏微分方程最優(yōu)控制問題的有限元方法，重點(diǎn)研究對(duì)流占優(yōu)方程最優(yōu)控制、流體控制、控制或觀測(cè)發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制、多尺度最優(yōu)控制及非線性最優(yōu)控制問題，研究這些最優(yōu)控制問題數(shù)值方法的先驗(yàn)及后驗(yàn)誤差估計(jì)、自適應(yīng)有限元計(jì)算及應(yīng)用等。我們主要完成了下述幾方面的工作：(1)以數(shù)值天氣預(yù)報(bào)為背景，研究對(duì)流占優(yōu)最優(yōu)控制及流體系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的數(shù)值計(jì)算，在對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問題的不連續(xù)Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最優(yōu)控制問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)和高效自適應(yīng)有限元算法以及Stokes方程特征值問題等方面取得了有意義的進(jìn)展。(2)以地質(zhì)災(zāi)害預(yù)測(cè)的數(shù)值計(jì)算為背景，研究相關(guān)最優(yōu)控制問題。我們研究了控制或觀測(cè)發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制問題及數(shù)值計(jì)算，系統(tǒng)分析了此類問題的正則性，得到了最優(yōu)誤差估計(jì)。我們還研究了橢圓方程邊界觀測(cè)和點(diǎn)態(tài)觀測(cè)的參數(shù)反演問題、反柯西問題及非線性最優(yōu)控制問題，針對(duì)問題的特殊性，構(gòu)造了有限元、混合元、及帶有奇異解的混合格式，分析了解的正則性及先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了高效自適應(yīng)有限元算法。(3)以復(fù)合材料最優(yōu)設(shè)計(jì)為背景，研究最優(yōu)控制問題的多尺度計(jì)算。我們研究了控制受限的小周期振動(dòng)系數(shù)橢圓方程最優(yōu)控制問題的多尺度漸近分析和有限元計(jì)算，首次得到最優(yōu)誤差估計(jì)。在此基礎(chǔ)上我們進(jìn)一步研究了復(fù)合材料設(shè)計(jì)的多尺度有限元計(jì)算，設(shè)計(jì)了新的算法，進(jìn)行了誤差分析，并得到了合理的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果。此外，我們還研究了小周期振動(dòng)系數(shù)的橢圓方程最優(yōu)控制問題的多尺度混合元計(jì)算，得到了最優(yōu)誤差估計(jì)。(4)針對(duì)各類最優(yōu)控制問題的實(shí)際需要，我們繼續(xù)研究最優(yōu)控制問題及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收斂分析等，在最優(yōu)控制多水平校正有限元方法方面取得突破，為進(jìn)一步研究打下了良好基礎(chǔ)。在上述研究基礎(chǔ)上，我們出版專著一本，發(fā)表學(xué)術(shù)論文16篇，SCI收錄13篇，其中4篇論文發(fā)表在SIAM Numer. Anal. 等本學(xué)科國際頂尖雜志上。有關(guān)工作得到國內(nèi)外同行關(guān)注，被多篇論文引用并引起相關(guān)后續(xù)研究工作。 2100433B

本項(xiàng)目擬研究若干具有重要應(yīng)用背景的偏微分方程最優(yōu)控制問題的有限元方法。我們將重點(diǎn)研究邊界控制、狀態(tài)受限控制、對(duì)流占優(yōu)方程最優(yōu)控制、參數(shù)估計(jì)問題及一些非線性最優(yōu)控制問題，這些問題不僅在大氣污染控制、地質(zhì)災(zāi)害預(yù)測(cè)、石油勘探與開采及材料設(shè)計(jì)等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域有十分廣泛的應(yīng)用前景，而且在偏微分方程、最優(yōu)控制、有限元分析等數(shù)學(xué)理論方面也有重要的理論意義。我們將針對(duì)上述各類最優(yōu)控制問題的特殊性，構(gòu)造適用于不同問題的有限元、混合元、DG格式及優(yōu)化算法，研究算法的誤差（包括先驗(yàn)誤差估計(jì)和各類后驗(yàn)誤差估計(jì)），并在深入研究誤差分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展和完善偏微分方程最優(yōu)控制問題有限元后驗(yàn)誤差估計(jì)技術(shù)，發(fā)展自適應(yīng)有限元算法及應(yīng)用軟件，提高計(jì)算效率。在理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，我們將努力推動(dòng)這些新技術(shù)、新算法的應(yīng)用，將研究結(jié)果應(yīng)用于地質(zhì)災(zāi)害預(yù)測(cè)、大氣污染控制等實(shí)際應(yīng)用問題。

混合有限元方法可同時(shí)求解位移和應(yīng)力，是數(shù)值求解線彈性問題的強(qiáng)有力工具。相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)有限元方法，混合有限元方法由于在計(jì)算中涉及到更多的未知量而使計(jì)算規(guī)模增大，因此如何構(gòu)造混合元離散問題可靠且有效的后驗(yàn)誤差估計(jì)子，優(yōu)化網(wǎng)格加密策略，實(shí)現(xiàn)問題的高效自適應(yīng)計(jì)算具有重要的應(yīng)用價(jià)值。 本項(xiàng)目主要研究了線彈性問題的對(duì)稱型混合有限元方法及其離散問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)。首先我們構(gòu)造了求解線彈性問題的一族對(duì)稱型非協(xié)調(diào)混合有限元，這族元的應(yīng)力和位移有限元空間具有很好的匹配性，在形式上關(guān)于空間維數(shù)具有一致性，可以推廣到任意維問題。我們證明了混合元離散問題解的存在唯一性并給出了最優(yōu)的先驗(yàn)誤差估計(jì)。對(duì)二維、三維問題進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，從數(shù)值上驗(yàn)證了所構(gòu)造混合元的最優(yōu)收斂性和超收斂性,并且從理論上證明了這族元的超收斂性。其次我們研究了二維和三維線彈性問題對(duì)稱型協(xié)調(diào)混合元方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)。利用應(yīng)力誤差的Helmholtz正交分解，構(gòu)造了自適應(yīng)求解離散問題的殘量型后驗(yàn)誤差估計(jì)子，證明了估計(jì)子的可靠性和有效性。通過對(duì)不同邊值問題的自適應(yīng)數(shù)值計(jì)算，驗(yàn)證了所構(gòu)造后驗(yàn)誤差估計(jì)子的可靠性和有效性，數(shù)值計(jì)算表明我們所構(gòu)造的自適應(yīng)算法具有最優(yōu)的收斂性。最后我們研究了對(duì)稱型非協(xié)調(diào)混合元離散問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)。本項(xiàng)目現(xiàn)已發(fā)表SCI檢索論文2篇。 需要特別指出的是我們最近幾年所得到的關(guān)于線彈性問題對(duì)稱型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人員的關(guān)注，被用于求解一些工程問題并取得了比較好的計(jì)算效果，接下來我們將深入研究對(duì)稱型混合元方法在實(shí)際工程計(jì)算中的應(yīng)用。 2100433B

以后驗(yàn)誤差估計(jì)和自適應(yīng)網(wǎng)格改進(jìn)技術(shù)為核心的自適應(yīng)方法已被廣泛用于有限元離散問題的數(shù)值求解中，并表現(xiàn)出色；可同時(shí)逼近位移與應(yīng)力的混合有限元方法是數(shù)值求解線彈性問題的強(qiáng)有力工具。本項(xiàng)目主要研究線彈性問題的自適應(yīng)對(duì)稱型混合有限元方法。我們首先研究三維線彈性問題對(duì)稱型協(xié)調(diào)有限元方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)。利用三維彈性序列給出應(yīng)力的Helmholtz分解，據(jù)此構(gòu)造殘量型的后驗(yàn)誤差估計(jì)子并證明其可靠性；利用對(duì)稱型混合元和四階問題有限元之間的關(guān)系，構(gòu)造性地證明估計(jì)子的有效性。其次研究線彈性問題對(duì)稱型非協(xié)調(diào)混合元方法的殘量型后驗(yàn)誤差估計(jì)。應(yīng)用Helmholtz分解把應(yīng)力誤差分解為協(xié)調(diào)誤差和非協(xié)調(diào)誤差兩部分，然后分別估計(jì)得到誤差估計(jì)子的可靠性。最后利用所構(gòu)造的后驗(yàn)誤差估計(jì)子設(shè)計(jì)求解線彈性問題的對(duì)稱型混合元自適應(yīng)算法，研究擬正交性、離散Helmholtz分解、離散上界等重要性質(zhì)，證明算法的收斂性和最優(yōu)性。

非線性最優(yōu)控制簡(jiǎn)介

解決最優(yōu)控制問題最大的難點(diǎn)在于HJB方程的求解，只有當(dāng)系統(tǒng)模型是低階線性模型時(shí)，才有可能給出具有顯式表達(dá)式的最優(yōu)控制解。在實(shí)際系統(tǒng)里，乃至自然界中，幾乎絕大多數(shù)系統(tǒng)都是非線性的系統(tǒng)，想得到具有顯式表達(dá)式的控制量幾乎不可能，這就需要借助計(jì)算機(jī)，以及選擇合適的最優(yōu)的數(shù)值解法，以得到最優(yōu)解。一般的，最優(yōu)控制問題的求解方法為數(shù)值算法。極大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃從理論方面研究了最優(yōu)控制所應(yīng)遵循的方程和條件，而最優(yōu)控制的數(shù)值算法則是從計(jì)算方面來確定最優(yōu)控制量的具體方法和步驟。

評(píng)價(jià)最優(yōu)控制數(shù)值算法優(yōu)劣的三個(gè)主要方面是算法的收斂性、計(jì)算復(fù)雜性以及數(shù)值穩(wěn)定性。算法的收斂性是保證計(jì)算過程能達(dá)到正確結(jié)果的前提。算法的計(jì)算復(fù)雜性也尤其重要，這對(duì)實(shí)時(shí)控制具有特別重要的意義。一個(gè)好的算法應(yīng)使計(jì)算量和存儲(chǔ)量盡可能小，以便能由盡可能簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)計(jì)算。好的算法還應(yīng)具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，即計(jì)算的結(jié)果對(duì)初始數(shù)據(jù)和運(yùn)算過程的誤差不能過于敏感，同時(shí)具有處理病態(tài)問題的能力。典型的最優(yōu)控制數(shù)值算法包括:求解由極大值原理導(dǎo)出的微分或差分方程的兩點(diǎn)邊值問題的各種算法，對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的貝爾曼方程進(jìn)行數(shù)值求解_的算法，求解線性二次型最優(yōu)控制問題的黎卡提方程的各種算法，處理控制或狀態(tài)受約束問題的懲罰函數(shù)法，在控制策略的函數(shù)空間中利用搜索尋優(yōu)或梯度尋優(yōu)技術(shù)和牛頓一拉夫森方法等直接求解非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的算法等。其中，針對(duì)非線性系統(tǒng)的開環(huán)最優(yōu)控制問題和線性二次型最優(yōu)控制問題展開的數(shù)值算法研究尤多。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題間接求解法

在間接法中，我們依靠最小值原理和其它一些必要條件得到一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題，然后通過數(shù)值求解該問題得到相應(yīng)的最優(yōu)軌跡。在幾種基于打靶法求解兩點(diǎn)邊值問題的方法中，多重打靶法是最引人矚目的。而其它的一些間接數(shù)值求解法，比如伴隨方程的向前一向后積分法、函數(shù)空間梯度法等，在過去的幾年中應(yīng)用并不十分廣泛。間接法的主要優(yōu)點(diǎn)是解的精度高，同時(shí)方法保證了求解滿足最優(yōu)條件。然而間接法常常會(huì)遇到比較嚴(yán)重的解的收斂性問題。如果在求解中，沒有關(guān)于系統(tǒng)初始值的一個(gè)好的選取，或是沒有關(guān)于約束和非約束下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的先驗(yàn)知識(shí)，收斂過程可能需要花費(fèi)很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，甚至可能根本無法找到最優(yōu)解。

非線性最優(yōu)控制最優(yōu)問題直接求解法

在直接法中，連續(xù)性的最優(yōu)控制問題通過參數(shù)化的過程被轉(zhuǎn)化為了一個(gè)有限維的優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化后的問題可以通過一些已有的比較成熟的約束優(yōu)化算法進(jìn)行數(shù)值求解。相對(duì)于間接法而言，直接法無需考慮最優(yōu)化條件，而是直接求解問題本身。直接法不易受到收斂問題的影響，但估計(jì)的精度不如間接法。最優(yōu)的必要條件不是直接滿足的，而且伴隨量的估計(jì)精度有時(shí)也會(huì)很差?，F(xiàn)在比較常用的幾種直接求解方法包括最優(yōu)參數(shù)控制法，有限差分方法，配點(diǎn)法，微分包含方法和偽譜方法。在最優(yōu)參數(shù)控制法中，控制量被單獨(dú)參數(shù)化，同時(shí)數(shù)值積分方法被用來求解微分方程;在有限差分方法中，原微分方程和邊界條件被近似為有限差分方程組:在配點(diǎn)法中，狀態(tài)量和控制量同時(shí)被參數(shù)化，在各個(gè)節(jié)點(diǎn)處，局部分段多項(xiàng)式被用來近似微分方程;微分包含方法只是將狀態(tài)量參數(shù)化，并使用由速端曲線定義的狀態(tài)變化率;在偽譜方法中，通過全局多項(xiàng)式將狀態(tài)量和控制量同時(shí)參數(shù)化，積分方程和微分方程通過求積法被近似。配點(diǎn)法和偽譜方法的一個(gè)重要的特點(diǎn)就是伴隨量的相合估計(jì)。