三代角定理

從一個角的頂點引出的把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的角平分線。

三角形的一個角（內(nèi)角）的角平分線交其對邊的點所連成的線段，叫做這個三角形的一條角平分線。

角平分線定理定理1

角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

證明：如圖1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又 AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

逆定理：在角的內(nèi)部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

證明：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC

∵DB⊥AB，

∴∠DBA=90

同理∴∠DCA=90

在RT△DBA和RT△DCA中，

{DB=DC(已知）

AD=AD（公共邊）

∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對應角相等）

角平分線定理定理2

三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

證明：如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線

過點D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF(定理1)

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

過點A作AG⊥BC，垂足為G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。

證明略。

角平分線定理角平分線長

由定理2和斯特瓦爾特定理可以推導出三角形內(nèi)的角平分線長公式。

如右圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC

可設AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，則BC=u v

由定理2我們知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯臺沃特定理，有w2=(x2v y2u)/(u v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v

即得AD2=xy-uv=AB×AC-BD×DC

如圖2，若AB，AO分別是平面a的垂線和斜線，OB是AO在平面a內(nèi)的射影，∠AOB為銳角，OC是平面a內(nèi)和OB不重合的任一直線，在OC上截取OD=OB，連結(jié)AD，則AB

在△AOB與△AOD中，因為OA=OA，OB=OD，AB

定理得證。

上述定理是定義“斜線和平面所成的角”這一概念的理論基礎(chǔ)。有了上面的性質(zhì)，就保證了這一概念的定義的合理性 。