統(tǒng)計分布

統(tǒng)計分布分配數(shù)列的種類

分配數(shù)列有兩個構成要素。即總體按某標志所分的組和各組對應的次數(shù)或頻率。

分配數(shù)列的第一個構成要素就是總體按某標志所分的組。根據(jù)分組標志的不同，分配數(shù)列可分為品質分配數(shù)列和變量分配數(shù)列。按品質標志分組形成的分配數(shù)列叫品質分配數(shù)列，簡稱品質數(shù)列；按數(shù)量標志分組形成的分配數(shù)列叫變量分配數(shù)列，簡稱變量數(shù)列。變量數(shù)列又可以分為單項式數(shù)列和組距式數(shù)列，組距式數(shù)列又可以分為等距數(shù)列和不等距數(shù)列。它們都是由相應的統(tǒng)計分組形成的。

對品質數(shù)列來說，由于用品質標志來區(qū)分事物的各種類型表現(xiàn)得比較明確，因此，品質數(shù)列一般比較穩(wěn)定，能較好地反映總體各單位的分布特征。但對變量數(shù)列來說，因為事物性質的差異是用數(shù)量界限來表現(xiàn)的，而數(shù)量界限往往會受人們主觀認識的影響，同一數(shù)量標志分組可能會出現(xiàn)多種分布狀態(tài)。這就涉及各組頻數(shù)和頻率的問題。

統(tǒng)計分布頻數(shù)和頻率

分配數(shù)列的第二個構成要素就是各組對應的單位數(shù)——次數(shù)，次數(shù)也叫頻數(shù)，常用

在變量分配數(shù)列中，頻數(shù)或頻率表明對應組標志值的作用程度。頻數(shù)或頻率數(shù)值越大，表明該組標志值對總體水平所起的作用也越大；反之，頻數(shù)或頻率數(shù)值越小，表明該組標志值對總體水平所起的作用越小。

分配數(shù)列中各組的頻數(shù)或頻率不能為0，如果某一組的頻數(shù)或頻率為0，應刪除這一組。

有時候，為了更簡便地概括總體各單位的分布特征，還需要編制累計頻數(shù)數(shù)列和累計頻率數(shù)列。累計方法有向上累計和向下累計兩種。

向上累計就是向變量的上限方向累計，是指將各組頻數(shù)或頻率由變量值較低的組向變量值較高的組累計，各累計數(shù)的意義是各組上限以下的累計頻數(shù)或頻率。當我們關注標志值較小的各組分布情況時，可采用向上累計方法。

向下累計就是向變量的下限方向累計，是指將各組頻數(shù)或頻率由變量值較高的組向變量值較低的組累計，各累計數(shù)的意義是各組下限以上的累計頻數(shù)或頻率。當我們關注標志值較大的各組分布情況時，可采用向下累計方法。

分析變量的分布狀況，一般應采用等距數(shù)列。此時，各組的頻數(shù)或頻率就能很好地反映變量的分布狀況。如果是不等距數(shù)列，則應采用各組的次數(shù)密度或頻率密度才能正確反映變量的分布狀況。次數(shù)密度和頻率密度的計算公式如下：

次數(shù)密度=某組次數(shù)/該組組距；頻率密度=某組頻率/該組組距

統(tǒng)計分布次數(shù)分布的特征

社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體的性質不同，其次數(shù)分布的特征也不同。各種社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體的次數(shù)分布，歸納起來主要有鐘型分布、U型分布、J型分布和洛倫茲分布四種類型。

鐘型分布

鐘型分布是正態(tài)分布的俗稱，其特征是“中間高，兩頭低”，即靠近中間的變量值分布的次數(shù)多，靠近兩邊的變量值分布的次數(shù)少，形如古鐘（見圖1）。

在社會經(jīng)濟現(xiàn)象中，鐘型分布多表現(xiàn)為對稱分布。對稱分布的特征是中間的變量值分布的次數(shù)最多，以標志變量中心為對稱軸。兩側變量值分布的次數(shù)隨著與中心變量值距離的增大而漸次減少，并且圍繞中心變量值兩側呈對稱分布。這種分布在統(tǒng)計學中稱為正態(tài)分布。在社會經(jīng)濟現(xiàn)象中，許多變量的分布近似于正態(tài)分布類型。如從業(yè)人員的年收入、農作物單產(chǎn)、零件尺寸、學生考試成績、社會財富分布等。正態(tài)分布在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學中具有重要意義。這是因為，一方面。社會經(jīng)濟現(xiàn)象中大部分分布呈近似正態(tài)分布；另一方面，正態(tài)分布理論是抽樣推斷的基礎。

U型分布

U型分布的特征與鐘型分布正好相反，靠近中間的變量值分布的次數(shù)少，靠近兩端的變量值分布的次數(shù)多，形成“兩頭高，中間低”的U字型分布。例如，人口死亡現(xiàn)象按年齡分布便是如此。由于人口總體中幼兒和老年人死亡人數(shù)較多，而中年人死亡人數(shù)較少，因此，死亡人數(shù)按年齡分組便近似地表現(xiàn)為U型分布，如圖2所示。

J型分布

在社會經(jīng)濟現(xiàn)象中，一些統(tǒng)計總體分布曲線呈J型，即次數(shù)隨著變量值的增加而增加。如農作物產(chǎn)量按土地面積分布、人口數(shù)按零售商品銷售額分布、工人數(shù)按總產(chǎn)值分布、庫存量按庫存費用分布等，如圖3所示。也有次數(shù)隨著變量值的增加而減少的倒J型分布。如企業(yè)數(shù)按投資額分布、人口數(shù)按年齡大小分布等，如圖4所示。

洛倫茲分布

洛倫茲分布曲線是美國統(tǒng)計學家洛倫茲（M.Lorenz）提出來的，專門用以研究社會收入分配的平等問題。

在圖5中。橫軸OH表示人口的累計百分比，縱軸OM表示收入的累計百分比，弧線OL為洛倫茲曲線。洛倫茲曲線的彎曲程度有著重要的意義，它反映了收入分配的不平等程度。彎曲程度越大，收入分配越不平等，反之亦然。

洛倫弦曲線與對角線之間的部分A 叫做“不平等面積”，直角三角形OHL的面積(A B)叫做“完全不平等面積”。不平等面積與完全不平等面積之比，就是基尼系數(shù)，也稱集中系數(shù)：基尼系數(shù)=

基尼系數(shù)等于1，表示收入分配絕對不平等；基尼系數(shù)等于0，表示收入分配絕對平等?；嵯禂?shù)是衡量，一個國家或地區(qū)貧富差距的標準之一。按照聯(lián)合國有關組織規(guī)定：基尼系數(shù)若低于0.2表示收入平均；0.2-0.3表示比較平均；0.3=0.4表示相對合理；0.4-0.5表示收入差距較大；0.5以上表示收入差距懸殊。通常把0.4作為收入分配差距的“警戒線”。發(fā)達國家的基尼系數(shù)在0.26-0.38之間，我國2013年全國居民收入的基尼系數(shù)為0.473。

洛倫茲曲線的拓展可以運用于其他社會經(jīng)濟現(xiàn)象，研究總體各單位標志變異狀況——變量分布的均勻性或分布的集中程度，因此，洛倫茲曲線又稱集中曲線。如研究產(chǎn)品市場份額在各企業(yè)的集中度以及分析固定資產(chǎn)投資額在各地區(qū)的集中度等 。

（一）將原始資料按其數(shù)值大小重新排列

只有把得到的原始資料按其數(shù)值大小重新排列順序，才能看出變量分布的集中趨勢和特點，為確定全距、組距和組數(shù)作準備。

（二）確定全距

確定全距前，要檢查數(shù)據(jù)組兩端有沒有極端值。如果有極端值且個數(shù)較少，應考慮將極端值歸入開口組，計算全距前，可去掉極端值。

（三）確定組距和組數(shù)

組距=全距/組數(shù)，當全距一定時。組距越大，組數(shù)就越少；組距越小，組數(shù)就越多，在實際應用中。組距一般應采用整數(shù)，最好是5或10的整倍數(shù)。

（四）確定組限

組限要根據(jù)變量的性質來確定。如果變量值相對集中，無特大或特小的極端值時，則采用閉口式：反之，如果有特大或特小的極端值時，則采用開口式，將極端蚊歸入開口組中。

（五）編制變量數(shù)列

經(jīng)過上述四個步驟以后，就可以把總體各單位按變量值的大小分配到各組，計算各組的次數(shù)和頻率 。2100433B

在統(tǒng)計分組的基礎上，把總體的所有單位數(shù)按組歸并排列，形成各組單位數(shù)在總體中的分布，稱統(tǒng)計分布。統(tǒng)計分布的實質是，把總體的全部單位按某標志所分的組進行分配所形成的數(shù)列，也可稱為分配數(shù)列或分布數(shù)列。在每次把某個單位分配到某一組時，人們常常說分配了一次，所以，分配數(shù)列又叫次數(shù)分布。分配數(shù)列有兩個構成要素：一是總體按某標志所分的組；二是各組對應的單位數(shù)——次數(shù)。

統(tǒng)計分布形式十分簡單，但在統(tǒng)計研究中卻有著重要的意義。統(tǒng)計分布是統(tǒng)計分析結果的一種重要表現(xiàn)形式，也是統(tǒng)計分析的一種重要方法。它可以表明總體各單位的分布特征和結構狀況，并有助于我們進一步研究標志的構成、平均水平及其變動規(guī)律。從文字含義看，統(tǒng)計分布理論性強一些，分配數(shù)列更通俗一點。以下交叉使用這兩名詞 。

統(tǒng)計量的分布叫抽樣分布。它與樣本分布不同，后者是指樣本x1,x2，…，xn的聯(lián)合分布。

統(tǒng)計量的性質以及使用某一統(tǒng)計量作推斷的優(yōu)良性，取決于其分布。所以抽樣分布的研究是數(shù)理統(tǒng)計中的重要課題。尋找統(tǒng)計量的精確的抽樣分布，屬于所謂的小樣本理論（見大樣本統(tǒng)計）的范圍，但是只在總體分布為正態(tài)時取得比較系統(tǒng)的結果。對一維正態(tài)總體，有三個重要的抽樣分布，即Ⅹ分布、t分布和F分布。

Ⅹ分布 　設隨機變量x1,x2，…，xn是相互獨立且服從標準正態(tài)分布N(0,1），則隨機變量的分布稱為自由度為n的Ⅹ分布（其密度函數(shù)及下文的t分布、F分布的密度函數(shù)表達式均見概率分布）。這個分布是 F.赫爾梅特于1875年在研究正態(tài)總體的樣本方差時得到的。若x1,x2，…，xn是抽自正態(tài)總體N(μ,σ）的簡單樣本，則變量服從自由度為n-1的Ⅹ分布。若x1，x2，…，xn服從的不是標準正態(tài)分布，而依次是正態(tài)分布N(μi,1）（i=1,2，…，n），則的分布稱為非中心Ⅹ分布，稱為非中心參數(shù)。當δ=0時即前面所定義的Ⅹ分布。為此，有時也稱它為中心Ⅹ分布。中心與非中心的Ⅹ分布在正態(tài)線性模型誤差方差的估計理論中，在正態(tài)總體方差的檢驗問題中（見假設檢驗），以及一般地在正態(tài)變量的二次型理論中都有重要的應用。

t分布設隨機變量ξ，η獨立，且分別服從正態(tài)分布N(δ,1）及自由度n的中心Ⅹ分布，則變量的分布稱為自由度n、非中心參數(shù)δ的非中心t分布；當δ=0時稱為中心t分布。若x1，x2，…，xn是從正態(tài)總體N（μ,σ）中抽出的簡單樣本，以塣記樣本均值，以記樣本方差，則服從自由度n-1的t分布。這個結果是英國統(tǒng)計學家W.S.戈塞特（又譯哥色特，筆名“學生”）于 1908年提出的。t分布在有關正態(tài)總體均值的估計和檢驗問題中，在正態(tài)線性統(tǒng)計模型對可估函數(shù)的推斷問題中有重要意義，t分布的出現(xiàn)開始了數(shù)理統(tǒng)計的小樣本理論的發(fā)展 。

亦稱“估計量”，抽樣總體(即樣本)計算的統(tǒng)計指標，也就是抽樣指標或樣本指標。如樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標準差、相關系數(shù)等，都是樣本統(tǒng)計量。根據(jù)這些統(tǒng)計量可以推斷總體分布或有關特征數(shù)(即總體參數(shù))的可靠性。由于樣本是根據(jù)隨機原則從總體中抽取的，因而樣本統(tǒng)計量本身也是一個隨機變量，在同一總體的不同樣本中，其各自的統(tǒng)計量各有不同，它是隨著樣本的變化而變化的。

國際上，約于20世紀30年代開始繪制降水量多年均值的等值線圖。各國大都制有各種時段的降水、徑流和陸而蒸發(fā)的多年均值和變差系數(shù)的等值線圖，或不同頻率時這些水文要素值的等值線圖。中國于20世紀50年代開始分析研究，并在1 963年正式出版《中國水文圖集》（參見水文圖集）。70～80年代，繪制并出版了各種短歷時暴雨的統(tǒng)計參數(shù)等值線圖（參見暴雨等值線圖）。19 80～1985年，在首次全國水資源評價時，重新繪制了

全國、流域和分省的年降水量、年徑流量和年陸而蒸發(fā)量均值和變籌系數(shù)等值線圖，以及Cs/ Cv值的分區(qū)圖。