誤差分析

在實際系統(tǒng)的數(shù)值模擬或建模中，隨著模型參數(shù)的變化，誤差分析與模型輸出的變化有關。

例如，在作為兩個變量

在數(shù)值分析中，誤差分析包括前向誤差分析和后向誤差分析。

誤差分析前向誤差分析

前向誤差分析涉及函數(shù)

誤差分析后向誤差分析

后向誤差分析涉及近似函數(shù)

后向誤差分析，其理論由詹姆斯·威爾金森（James H. Wilkinson）提出和推廣，可用于確定實現(xiàn)數(shù)字函數(shù)的算法在數(shù)值是否穩(wěn)定。方法表明，盡管由于舍入誤差而導致的計算結(jié)果不完全正確，但這是一個精確的解決方案。 如果所需的擾動小，按照輸入數(shù)據(jù)的不確定性的順序，則結(jié)果在某種意義上與數(shù)據(jù)“應得的”一樣準確。 然后將算法定義為向后穩(wěn)定。 穩(wěn)定性是對給定數(shù)值程序的舍入誤差敏感度的量度;；相比之下，給定問題的函數(shù)的條件數(shù)表示函數(shù)對其輸入中的小擾動的固有靈敏度，并且獨立于用于解決問題的實現(xiàn)。

物理化學以測量物理量為基本內(nèi)容，并對所測得數(shù)據(jù)加以合理的處理，得出某些重要的規(guī)律，從而研究體系的物理化學性質(zhì)與化學反應間的關系。

然而，在物理量的實際測量中，無論是直接測量的量，還是間接測量的量（由直接測量的量通過公式計算而得出的量），由于測量儀器、方法以及外界條件的影響等因素的限制，使得測量值與真實值（或?qū)嶒炂骄担┲g存在著一個差值，這稱之為測量誤差。

研究誤差的目的是：在一定的條件下得到更接進于真實值的最佳測量結(jié)果；確定結(jié)果的不確定程度；據(jù)預先所需結(jié)果，選擇合理的實驗儀器、實驗條件和方法，以降低成本和縮短實驗時間。因此我們除了認真仔細地做實驗外，還要有正確表達實驗結(jié)果的能力，這二者是同等重要的。僅報告結(jié)果，而不同時指出結(jié)果的不確定程度的實驗是無價值的，所以我們要有正確的誤差概念。

在數(shù)學中，誤差分析是對解決問題可能存在的錯誤或不確定性的種類和數(shù)量的研究。 這個問題在數(shù)值分析和統(tǒng)計等應用領域尤為突出。

誤差分析全球定位系統(tǒng)

使用全球定位系統(tǒng)計算的誤差分析對于了解GPS的工作原理以及了解應該預期的幅度誤差很重要。 全球定位系統(tǒng)對接收機時鐘誤差和其他影響進行修正，但仍然存在未糾正的殘差錯誤。 全球定位系統(tǒng)（GPS）由美國國防部（DOD）于七十年代創(chuàng)建。 它已經(jīng)被美軍和公眾廣泛地用于導航。

誤差分析分子動力學模擬

在分子動力學（MD）模擬中，由于相空間或不經(jīng)常發(fā)生的事件的采樣不足，存在誤差，這導致了測量中隨機波動引起的統(tǒng)計誤差。

對于波動特性A的一系列M測量，平均值為：

當這些測量是獨立的時候，平均值的方差是：

其中

然后我們可以使用自動相關函數(shù)來估計誤差。

誤差分析科學數(shù)據(jù)驗證

測量通常具有少量的誤差，同一項目的重復測量通常會導致讀數(shù)略有不同。 可以分析這些差異，并遵循一定的已知數(shù)學和統(tǒng)計特性。一般來說，誤差分析通常不足以證明數(shù)據(jù)被偽造或制造，但它可能提供必要的支持證據(jù)，以證實懷疑不當行為。

誤差分析法是一個量的近似值與精確值之差稱為誤差或絕對誤差。絕對誤差與精確值之比稱為相對誤差，它反映近似值的近似程度。誤差分析本來是為整理天文學、測量學等方面的觀測值的需要而產(chǎn)生的。但是隨著電子計算機的發(fā)展，使大規(guī)模的計算成為可能。所以在現(xiàn)代數(shù)值計算中，對誤差的大小及傳播進行分析已成為絕對必要的工作。這是誤差分析的中心研究課題。誤差按其來源可分為模型誤差、測量誤差、截斷誤差和舍入誤差。由模型的局限性引起的誤差稱為模型誤差。

由于測量工具不準確和測量時由隨機干擾引起的誤差叫做測量誤差。截斷誤差是計算過程中，使用的近似計算公式與原表達式之間的誤差。舍入誤差是在計算步驟中，將所得數(shù)值舍入成某有限位數(shù)所產(chǎn)生的誤差。在分為若干步驟的計算中，每步計算都要用到上面步的計算結(jié)果。這時，若前一步的誤差對后一步的影響變得較小，而且隨著計算的繼續(xù)進行，其影響逐漸消失，則計算是穩(wěn)定的。反之，若前一步誤差對后一步誤差影響增大，誤差逐步積累。則計算結(jié)果越來越遠離正確的答案，以致面目皆非。例如，在微分方程數(shù)值解法中，計算格式的穩(wěn)定性是非常重要的分析內(nèi)容。不穩(wěn)定的格式根本不能用于實際計算。 2100433B

全書共分10章，內(nèi)容包括：誤差分析與數(shù)據(jù)處理基礎、測量誤差分布及其檢驗、隨機誤差及其特征量估計、系統(tǒng)誤差處理、測量列中異常數(shù)據(jù)的剔除、誤差的合成與分配、最小二乘法及其應用、回歸分析、測量不確定度評定、基于Excel的誤差分析與數(shù)據(jù)處理等。為加強誤差分析、數(shù)據(jù)處理及測量不確定度知識的實踐應用教學，本書在各章節(jié)中穿插了統(tǒng)計分析軟件DPS在實際問題中的解決方案及應用實例，并在第10章集中介紹了Excel電子表格在誤差分析與數(shù)據(jù)處理中的應用。

全書共分10章

第1章 誤差分析與數(shù)據(jù)處理基礎 內(nèi)容包括測量及其分類、測量誤差概述、測量精度、有效數(shù)字、修約規(guī)則、數(shù)據(jù)運算規(guī)則、DPS簡介等。

第2章 測量誤差分布及其檢驗 內(nèi)容包括測量誤差分布、誤差分布的分析與判斷、誤差分布的統(tǒng)計檢驗等。其中，在測量誤差分布一節(jié)中，介紹了基于DPS進行誤差分布的概率計算及臨界值計算；在誤差分布的分析與判斷一節(jié)中，介紹了基于DPS作測量點列圖和統(tǒng)計直方圖；在誤差分布的統(tǒng)計檢驗一節(jié)中，介紹了基于DPS實現(xiàn)"_blank" href="/item/斯米爾諾夫">斯米爾諾夫檢驗、達戈斯提諾檢驗、夏皮羅-威爾克檢驗及偏-峰態(tài)系數(shù)檢驗等。

第3章 隨機誤差及其特征量估計 內(nèi)容包括隨機誤差概述、等精度測量特征量估計、不等精度測量特征量估計、測量的極限誤差等。其中，在等精度測量特征量估計一節(jié)中，介紹了基于DPS的特征量估計方法。

第4章 系統(tǒng)誤差處理 內(nèi)容包括系統(tǒng)誤差概述、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)、系統(tǒng)誤差的減小和消除等。其中，在系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)一節(jié)中，介紹了基于DPS的殘余誤差觀察法及"para" label-module="para">

第5章 測量列中異常數(shù)據(jù)的剔除 內(nèi)容包括粗大誤差概述、異常數(shù)據(jù)判別準則、基于DPS的異常數(shù)據(jù)剔除等。

第6章 誤差的合成與分配 內(nèi)容包括誤差合成、微小誤差取舍準則、誤差合成的應用、誤差分配等。誤差分析與數(shù)據(jù)處理前言 第7章 最小二乘法及其應用 內(nèi)容包括概述、最小二乘法原理、最小二乘問題求解、最小二乘問題精度估計、組合測量數(shù)據(jù)處理、DPS在最小二乘處理中的應用等。

第8章回歸分析內(nèi)容包括一元線性回歸、兩個變量都具有誤差時線性回歸方程的求解、多元線性回歸、一元非線性回歸等。其中，在一元線性回歸、多元線性回歸及一元非線性回歸中，均介紹了基于DPS的解決方案及應用實例。

第9章 測量不確定度評定 內(nèi)容包括測量不確定度概述、標準不確定度的評定、合成標準不確定度、擴展不確定度、測量不確定度報告、測量不確定度評定舉例等。

第10章 基于Excel的誤差分析與數(shù)據(jù)處理 內(nèi)容包括Excel應用基礎、基于Excel的誤差分布分析與判斷、基于Excel的系統(tǒng)誤差檢驗、基于Excel的測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征量估計、基于Excel的最小二乘處理、基于Excel的回歸分析、Excel在測量不確定度評定中的應用等。其中，在基于Excel的誤差分布分析與判斷一節(jié)中，介紹了基于Excel作測量點列圖和統(tǒng)計直方圖；在基于Excel的系統(tǒng)誤差檢驗一節(jié)中，介紹了基于Excel的殘余誤差觀察法及"_blank" href="/item/回歸分析">回歸分析中，介紹了基于Excel函數(shù)的回歸分析、基于趨勢線的回歸分析及基于數(shù)據(jù)分析工具--回歸分析的回歸問題處理。

附錄部分介紹了一些矩陣基礎知識和有關附表。

本書巧妙地引入統(tǒng)計分析軟件DSP及Microsoft Office辦公軟件的Excel電子表格進行誤差分析與數(shù)據(jù)處理，使教材內(nèi)容更豐富，理論聯(lián)系實際，從而使教學過程更形象，便于學生對理論知識的消化理解，并易于在工作中學以致用。

中國工程院院士、中國計量科學研究院首席科學家張鐘華研究員在百忙之中為本書撰寫了序言，在此深表感謝！

在本書的編寫過程中，參考和引用了國內(nèi)外有關研究者的部分研究成果，參考文獻中均已一一列舉。本書的育成，得益于從他們的著作及研究成果中吸取了豐富的養(yǎng)分，在此向他們表示衷心的感謝！

由于作者水平有限，書中錯誤與不妥之處在所難免，懇請廣大讀者批評指正。

編 者2010年3月

光固化快速成型的誤差分析光固化快速成型技術的基本原理是將任意復雜的三維CAD模型轉(zhuǎn)化為一系列簡單的二維層片,逐層固化粘結(jié),從而獲得三維模型"按照成型機的成型工藝過程,可以將產(chǎn)生成型誤差的因素按概述圖所示分類"。

2.前期數(shù)據(jù)處理誤差

由于成型機所接收的是模型的輪廓信息,所以加工前必須對其進行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換"1987年,3DsystSnel公司對任意曲面CAD模型作小三角型平面近似,開發(fā)了TsL文件格式,并由此建立了從近似模型中進行切片獲取截面輪廓信息的統(tǒng)一方法,延用至今[1]"多年以來,STL文件格式受到越來越多的CAD系統(tǒng)和設備的支持,其優(yōu)點是大大簡化了CAD模型的數(shù)據(jù)格式,是CAD系統(tǒng)與RP系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)交換標準,它便于在后續(xù)分層處理時獲取每一層片實體點的坐標值,以便控制掃描鏡頭對材料進行選擇性掃描"因此被工業(yè)界認為是快速成型數(shù)據(jù)的準標準,幾乎所有類型的快速成型系統(tǒng)都采有STL數(shù)據(jù)格式,極大地推動了快速成型技術的發(fā)展"對三維模型進行數(shù)據(jù)處理,誤差主要產(chǎn)生于三維CAD模型的STL文件輸出和對此STL文件的分層處理兩個過程中"下面將分別論述STL格式文件轉(zhuǎn)換和分層處理對成型精度的影響"

2.1幾文件格式轉(zhuǎn)換誤差

STL幾文件的數(shù)據(jù)格式是采用小三角形來近似逼近三維CAD模型的外表面,小三角形數(shù)量的多少直接影響著近似逼近的精度.顯然,精度要求越高,選取的三角形應該越多"一般三維CAD系統(tǒng)在輸出STL格式文件時都要求輸入精度參數(shù),也就是用STL格式擬合原CAD模型的最大允許誤差"這種文件格式將CAD連續(xù)的表面離散為三角形面片的集合,當實體模型表面均為平面時不會產(chǎn)生誤差,.但對于曲面而言,不管精度怎么高,也不能完全表達原表面,這種逼近誤差不可避免地存在"如制作一圓柱體,當沿軸線方向成型時,如果逼近精度有限,則明顯地看到圓柱體變成了棱柱體,如圖1.2所示"

解決方法：清除這種誤差的根本途徑是直接從CAD模型獲 取制造數(shù)據(jù),但是實用中尚未達到這一步"現(xiàn)有的辦法只能在對CAD模型進行ST職洛式轉(zhuǎn)換時,通過恰當?shù)剡x擇精度參數(shù)值減少這一誤差,這往往依賴于經(jīng)驗"。

2.2分層處理對成型精度的影響

分層處理產(chǎn)生的誤差屬于原理誤差,分層處理以S幾文件格式為基礎,先確定成型方向,通過一簇垂直于成型方向的平行平面與STL文件格式模型相截,所得到的截面與模型實體的交線再經(jīng)過數(shù)據(jù)處理生成截面輪廓信息,平行平面之間的距離就是分層厚度"由于每一切片層之間存在距離,因此切片不僅破壞了模型表面的連續(xù)性,而且不可避免地丟失了兩切片層間的信息,這一處理造成分層方向的尺寸誤差和面型精度誤差"。

(1)分層方向尺寸誤差分析

進行分層處理時,確定分層厚度后,如果分層平面正好位于頂面或底面,則所得到的多邊形恰好是該平面處實際輪廓曲線的內(nèi)接多邊形;如果汾層平面與此兩平面不重合,即沿切層方向某一尺寸與分層厚度不能整除時,將會引起分層方向的尺寸誤差"

1)增加分層數(shù)量!減小分層厚度

為了獲得較高的面型精度,應盡可能減小分層厚度,但是,分層數(shù)量的增加,使制造效率顯著降低"同時,層厚太小會給涂層處理帶來一定的困難"另外,自適應性切片分層技術能夠較好的提高面型精度,是解決這一問題的較為有效途徑"

2)優(yōu)化成型制作方向

優(yōu)化成型制作方向,實質(zhì)上就是減小模型表面與成型方向的角度,也就是減小體積誤差"

3成型加工誤差

3.1機器誤差

機器誤差是成型機本身的誤差,它是影響制件精度的原始誤差"機器誤差在成型系統(tǒng)的設計及制造過程中就應盡量減小,因為它是提高制件精度的硬件基礎"。

(l)工作臺Z方向運動誤差

工作臺Z方向運動誤差直接影響堆積過程中的層厚精度,最終導致Z方向的尺寸誤差;而工作臺在垂直面內(nèi)的運動直線度誤差宏觀上產(chǎn)生制件的形狀!位置誤差,微觀上導致粗糙度增大"對于CPS350成型機來說,所采用的系統(tǒng)在500mm范圍內(nèi)的全程定位精度為0.03mm,雙向重復定位精度為0003mm。

(2)X.Y方向同步帶變形誤差

X.Y掃描系統(tǒng)采用X,Y二維運動,由步進電機驅(qū)動同步齒形帶并帶動掃描鏡頭運動在定位時,由于同步帶的變形,會影響定位的精度,常用的方法是采用位置補償系數(shù)來減小其影響CPS35O成型機出廠后進行位置補償,其重復定位精度可達到005mm。

(3)XY方向定位誤差

掃描過程中,X.Y掃描系統(tǒng)存在以下問題:

1)系統(tǒng)運動慣性力的影響

對于采用步進電機的開環(huán)驅(qū)動系統(tǒng)而言,步進電機本身和機械結(jié)構(gòu)都影響掃描系統(tǒng)的動態(tài)性能"-XY掃描系統(tǒng)在掃描換向階段,存在一定的慣性,使得掃描頭在零件邊緣部分超出設計尺寸的范圍,導致零件的尺寸有所增加"同時掃描頭在掃描時,始終處于反復加速減速的過程中,因此,在工件邊緣,掃描速度低于中間部分,光束對邊緣的照射時間要長一些,并且存在掃描方向的變換,掃描系統(tǒng)慣性力大,加減速過程慢,致使邊緣處樹脂固化程度較高"。

2)掃描機構(gòu)振動的影響

成型過程中,掃描機構(gòu)對零件的分層截面作往復填充掃描,掃描頭在步進電機的驅(qū)動下本身具有一個固有頻率,由于各種長度的掃描線都可能存在,所以在一定范圍內(nèi)的各種頻率都有可能發(fā)生,當發(fā)生諧振時,振動增大,成形零件將產(chǎn)生較大的誤差"。

3.2光固化成型誤差

(1)光斑直徑產(chǎn)生的誤差

這一固化成型特點,使所做出的零件實體部分實際上每側(cè)大了一個光斑半徑,零件的長度尺寸大了一個光斑直徑,使零件產(chǎn)生正偏差,雖然控制軟件中采用自適應拐角延時算法,但由于光斑直徑的存在,必然在其拐角處形成圓角,導致形狀鈍化,降低了制件的形狀精度,而使得一些小尺寸制件無法加工"由上述分析可知,如果不采用光斑補償,將使制件產(chǎn)生正偏差"為了消除或減少正偏差,實際上采用光斑補償,使光斑掃描路徑向?qū)嶓w內(nèi)部縮進一個光斑半徑"。

4.后處理產(chǎn)生的誤差

從成型機上取出已成型的工件后,需要進行剝離支撐結(jié)構(gòu),有的還需要進行后固化、修補、打磨、拋光和表面處理等,這些工序統(tǒng)稱為后處理"這類誤差可分為以下幾種:

(1)工件成型完成后,去除支撐時,可能表面質(zhì)量產(chǎn)生影響,所以支撐設計時要合理,不多不少,一般支撐間距為6nnn"支撐的設計與成型方向的選取有關,在選取成型方向時,要綜合考慮添加支撐要少,并便于去除等"。

(2)由于溫度!濕度等環(huán)境狀況的變化,工件可能會繼續(xù)變形并導致誤差,并且由于成型工藝或工件本身結(jié)構(gòu)工藝性等方面的原因,成型后的工件內(nèi)總或多或少地存在殘余應力,這種殘余應力會由于時效的作用而全部或部分地消失,這也會導致誤差"設法減小成型過程中的殘余應力有利于提高零件的成型精度"。

(3)制件的表面狀況和機械強度等方面還不能完全滿足最終產(chǎn)品的要求"例如制件表面不光滑,其曲面上存在因分層制造引起的小臺階、小缺陷,制件的薄壁和某些小特征結(jié)構(gòu)可能強度不足、尺寸不夠精確!表面硬度或色彩不夠滿意"采用修補、打磨、拋光是為了提高表面質(zhì)量,表面涂覆是為了改變制品表面顏色提高其強度和其它性能,但在此過程中若處理不當都會影響原型的尺寸及形狀精度,產(chǎn)生后處理誤差"。

5.結(jié)論

如何控制光固化成形工藝的精度是眾多研究者和學者必須考慮的一個問題。盡管可以通過多種方法來提高制件的成形精度，比如直接對三維 CAD 模型進行分層以避免 STL 文件轉(zhuǎn)換過程中造成的誤差和通過改進激光掃描方式也可以減小制件的內(nèi)應力和形變量來提高制件的精度等方法都可以實現(xiàn)對精度的控制。但是在整個成形工藝過程中，其工藝路線和工藝參數(shù)對制件的精度也存在著很大的影響，仍然需要進一步的研究。另外，光固化快速成型工藝的加工成本、生產(chǎn)效率及制件性能也需要在整個成形過程中考慮的重要因素。