線彈性問題的自適應混合有限元方法項目摘要

以后驗誤差估計和自適應網(wǎng)格改進技術為核心的自適應方法已被廣泛用于有限元離散問題的數(shù)值求解中，并表現(xiàn)出色；可同時逼近位移與應力的混合有限元方法是數(shù)值求解線彈性問題的強有力工具。本項目主要研究線彈性問題的自適應對稱型混合有限元方法。我們首先研究三維線彈性問題對稱型協(xié)調(diào)有限元方法的后驗誤差估計。利用三維彈性序列給出應力的Helmholtz分解，據(jù)此構造殘量型的后驗誤差估計子并證明其可靠性；利用對稱型混合元和四階問題有限元之間的關系，構造性地證明估計子的有效性。其次研究線彈性問題對稱型非協(xié)調(diào)混合元方法的殘量型后驗誤差估計。應用Helmholtz分解把應力誤差分解為協(xié)調(diào)誤差和非協(xié)調(diào)誤差兩部分，然后分別估計得到誤差估計子的可靠性。最后利用所構造的后驗誤差估計子設計求解線彈性問題的對稱型混合元自適應算法，研究擬正交性、離散Helmholtz分解、離散上界等重要性質(zhì)，證明算法的收斂性和最優(yōu)性。

混合有限元方法可同時求解位移和應力，是數(shù)值求解線彈性問題的強有力工具。相對于標準有限元方法，混合有限元方法由于在計算中涉及到更多的未知量而使計算規(guī)模增大，因此如何構造混合元離散問題可靠且有效的后驗誤差估計子，優(yōu)化網(wǎng)格加密策略，實現(xiàn)問題的高效自適應計算具有重要的應用價值。 本項目主要研究了線彈性問題的對稱型混合有限元方法及其離散問題的后驗誤差估計。首先我們構造了求解線彈性問題的一族對稱型非協(xié)調(diào)混合有限元，這族元的應力和位移有限元空間具有很好的匹配性，在形式上關于空間維數(shù)具有一致性，可以推廣到任意維問題。我們證明了混合元離散問題解的存在唯一性并給出了最優(yōu)的先驗誤差估計。對二維、三維問題進行了數(shù)值實驗，從數(shù)值上驗證了所構造混合元的最優(yōu)收斂性和超收斂性,并且從理論上證明了這族元的超收斂性。其次我們研究了二維和三維線彈性問題對稱型協(xié)調(diào)混合元方法的后驗誤差估計。利用應力誤差的Helmholtz正交分解，構造了自適應求解離散問題的殘量型后驗誤差估計子，證明了估計子的可靠性和有效性。通過對不同邊值問題的自適應數(shù)值計算，驗證了所構造后驗誤差估計子的可靠性和有效性，數(shù)值計算表明我們所構造的自適應算法具有最優(yōu)的收斂性。最后我們研究了對稱型非協(xié)調(diào)混合元離散問題的后驗誤差估計。本項目現(xiàn)已發(fā)表SCI檢索論文2篇。 需要特別指出的是我們最近幾年所得到的關于線彈性問題對稱型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人員的關注，被用于求解一些工程問題并取得了比較好的計算效果，接下來我們將深入研究對稱型混合元方法在實際工程計算中的應用。 2100433B

該項目對橢圓界面問題、平面線彈性界面問題、Stokes界面問題、四階方程界面問題等，深入研究了浸入界面有限元方法。對于分片不連續(xù)系數(shù)帶非齊次跳躍條件的橢圓界面問題，我們利用奇異去除技巧去處理非齊次跳躍條件，提出了一種快速的增廣浸入界面有限元方法；對于橢圓界面問題的浸入界面有限元方法，我們提出了一種對稱相容的浸入界面有限元方法；對于具有分片常系數(shù)的橢圓界面問題，我們通過引入一個新的增廣變量，提出了一種新的無需利用奇異值分解插值的增廣浸入界面有限元方法；對具有分片變系數(shù)的橢圓界面問題，通過引入法向?qū)?shù)作為增廣變量，我們提出了一種新的增廣方法。對于兩項流的Stokes界面問題，我們基于Nitsche方法和鬼罰方法，對最低階的P1/P1元提出了一種新的非匹配穩(wěn)定化有限元方法；對于Stokes方程模擬的流體流和達西定律建模的多孔介質(zhì)流之間的流體結(jié)構耦合問題，我們提出了一種基于笛卡爾網(wǎng)格的新的有限差分方法。對平面彈性界面問題，我們用P1協(xié)調(diào)元逼近位移的第一個分量，用P1非協(xié)調(diào)元逼近位移的第二個分量，提出了一種新的非協(xié)調(diào)浸入界面有限元方法；為了克服用協(xié)調(diào)元構造擴展有限元空間的非協(xié)調(diào)性，對橢圓界面題，我們提出了一種網(wǎng)格與界面非匹配的協(xié)調(diào)增擴有限元方法，我們利用P1協(xié)調(diào)元空間逼近解的光滑部分，利用IFEM的技巧在界面附近構造一種特殊的局部有限元空間逼近解的法向?qū)?shù)跳量，我們的協(xié)調(diào)元空間逼近不依賴于跳躍條件，也不要求系數(shù)是分片常數(shù)。對具有不連續(xù)系數(shù)的四階偏微分方程界面問題，通過引入中間邊界條件作為增廣變量，我們將原問題轉(zhuǎn)化為在界面帶源項跳躍的Poisson方程，提出了一種增廣的快速差分方法。對帶接觸阻抗復合材料熱傳導問題，通過添加鬼罰項，提出了一種非匹配有限元方法。數(shù)值實驗表明以上所提方法是有效的。此外，我們還提出了其他一些問題的數(shù)值方法，詳細結(jié)果參見正文。 2100433B

本課題研究若干具有重要應用背景的偏微分方程最優(yōu)控制問題的有限元方法，重點研究對流占優(yōu)方程最優(yōu)控制、流體控制、控制或觀測發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制、多尺度最優(yōu)控制及非線性最優(yōu)控制問題，研究這些最優(yōu)控制問題數(shù)值方法的先驗及后驗誤差估計、自適應有限元計算及應用等。我們主要完成了下述幾方面的工作：(1)以數(shù)值天氣預報為背景，研究對流占優(yōu)最優(yōu)控制及流體系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的數(shù)值計算，在對流擴散方程最優(yōu)控制問題的不連續(xù)Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最優(yōu)控制問題的后驗誤差估計和高效自適應有限元算法以及Stokes方程特征值問題等方面取得了有意義的進展。(2)以地質(zhì)災害預測的數(shù)值計算為背景，研究相關最優(yōu)控制問題。我們研究了控制或觀測發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制問題及數(shù)值計算，系統(tǒng)分析了此類問題的正則性，得到了最優(yōu)誤差估計。我們還研究了橢圓方程邊界觀測和點態(tài)觀測的參數(shù)反演問題、反柯西問題及非線性最優(yōu)控制問題，針對問題的特殊性，構造了有限元、混合元、及帶有奇異解的混合格式，分析了解的正則性及先驗和后驗誤差估計，并在此基礎上構造了高效自適應有限元算法。(3)以復合材料最優(yōu)設計為背景，研究最優(yōu)控制問題的多尺度計算。我們研究了控制受限的小周期振動系數(shù)橢圓方程最優(yōu)控制問題的多尺度漸近分析和有限元計算，首次得到最優(yōu)誤差估計。在此基礎上我們進一步研究了復合材料設計的多尺度有限元計算，設計了新的算法，進行了誤差分析，并得到了合理的數(shù)值實驗結(jié)果。此外，我們還研究了小周期振動系數(shù)的橢圓方程最優(yōu)控制問題的多尺度混合元計算，得到了最優(yōu)誤差估計。(4)針對各類最優(yōu)控制問題的實際需要，我們繼續(xù)研究最優(yōu)控制問題及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收斂分析等，在最優(yōu)控制多水平校正有限元方法方面取得突破，為進一步研究打下了良好基礎。在上述研究基礎上，我們出版專著一本，發(fā)表學術論文16篇，SCI收錄13篇，其中4篇論文發(fā)表在SIAM Numer. Anal. 等本學科國際頂尖雜志上。有關工作得到國內(nèi)外同行關注，被多篇論文引用并引起相關后續(xù)研究工作。 2100433B

彈性問題可能是線性的，也可能不是線性的，因為有勢的向量場也包括非線性場。通常在力學上把彈性問題分為兩類，一類叫做線性彈性問題，一類叫做非線性彈性問題，就是這個原因。

1、彈性包括線彈性和非線性彈性，彈性簡單說指卸載后變形按原路徑返回，沒有殘余變形，線彈性是應力與應變是直線關系，非線性彈性應力與應變是曲線。

2、在材料力學中，有比例極限與彈性極限兩個概念，比例極限是符合虎克定律的最高限，彈性極限是沒有塑性變形的最高限，那么在比例極限到彈性極限這一區(qū)段內(nèi)，應力、應變是什么關系？怎么理解？是否可以理解為在比例極限到彈性極限區(qū)段內(nèi)，雖然仍是彈性變形，但E值已非常量。續(xù)：彈性極限范圍內(nèi)：構件發(fā)生彈性變形，即撤除外力構件沒有塑性變形；比例極限范圍內(nèi)：構件出了滿足上面的條件，其應力－應變還成線性關系。即：比例極限就是線性彈性極。