線性控制理論

線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng)，它是實(shí)際系統(tǒng)的一類理想化了的模型，通?？梢杂镁€性的微分方程和差分方程來(lái)描述。

在系統(tǒng)與控制理論中，我們將主要研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通常也稱其為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)?？捎靡唤M微分方程或差分方程來(lái)表征，并且可對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和各種性質(zhì)給出嚴(yán)格和定量的數(shù)學(xué)描述。當(dāng)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)是一類最簡(jiǎn)單且研究得最多的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

簡(jiǎn)單說(shuō)，線性系統(tǒng)理論主要研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和改變這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可能性方法，建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間的確定的和定量的關(guān)系。在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究的過(guò)程中，建立合理的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是首要的前提，對(duì)于線性系統(tǒng)，常用的模型有 時(shí)間域模型和頻率域模型，時(shí)間域模型比較直觀，而頻率域模型則是一個(gè)更強(qiáng)大的工具，二者建立的基本途徑一般都通過(guò)解析法和實(shí)驗(yàn)法。

數(shù)學(xué)模型提供了解決問(wèn)題的可能性，在此基礎(chǔ)上，還需要在系統(tǒng)中加入控制部分來(lái)達(dá)到期望的性能，這些都可以先在數(shù)學(xué)模型中加入一些環(huán)節(jié)，再在實(shí)際中實(shí)現(xiàn)。

經(jīng)典的線性控制理論以拉普拉斯變換為主要工具，在50年代業(yè)已成熟。后來(lái)，一些新的數(shù)學(xué)工具相繼得到了運(yùn)用，先進(jìn)的 計(jì)算機(jī)技術(shù)也被使用起來(lái)，這些都推動(dòng)了線性系統(tǒng)理論的進(jìn)一步發(fā)展和在實(shí)際中的廣泛運(yùn)用。

本世紀(jì)50年代，經(jīng)典的線性系統(tǒng)理論已經(jīng)發(fā)展成熟和完備，并在不少工程技術(shù)領(lǐng)域中得到了成果的應(yīng)用。其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是拉普拉斯變換，模型是傳遞函數(shù)，分析和綜合方法是頻率響應(yīng)法。但是，它具有明顯的局限性，突出的是難于解決多輸入—多輸出系統(tǒng)，并且難以揭示系統(tǒng)的更深刻的特性。

在50年代蓬勃興起的航天技術(shù)的推動(dòng)下，線性系統(tǒng)理論在1960前后開(kāi)始了從經(jīng)典到現(xiàn)代階段的過(guò)渡，其重要標(biāo)志之一是 卡爾曼（R.E.Kalman）系統(tǒng)地把狀態(tài)空間法引入到系統(tǒng)和控制理論中來(lái)。并在此基礎(chǔ)之上，卡爾曼進(jìn)一步提出了能控性和能觀測(cè)性這兩個(gè)表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性地重要概念，已經(jīng)證明這是線性系統(tǒng)理論中的兩個(gè)最基本的概念。建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的線性系統(tǒng)的分析和綜合方法通常稱為現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論。

自60年代中期以來(lái)，線性系統(tǒng)理論不僅在研究?jī)?nèi)容還是在研究方法上，又有了一系列新的發(fā)展。出現(xiàn)了這種從幾何方法角度來(lái)研究線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性的幾何理論，出現(xiàn)了以抽象代數(shù)為工具的代數(shù)理論。也出現(xiàn)了在推廣經(jīng)典頻率法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的多變量頻域理論。與此同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，線性系統(tǒng)分析和綜合中的計(jì)算問(wèn)題，以及利用計(jì)算機(jī)對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行輔助分析和輔助設(shè)計(jì)的問(wèn)題，也都得到了廣泛和充分的研究。2100433B

系統(tǒng)是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。系統(tǒng)可具有完全不同的屬性，如工程系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。但是，在系統(tǒng)理論中，常常抽去具體系統(tǒng)的物理或社會(huì)含義而把它抽象化為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究，這種處理方法有助于揭示系統(tǒng)的一般特性。

系統(tǒng)最基本的特征是它的整體性，系統(tǒng)的行為和性能是由其整體所決定的，系統(tǒng)可以具有其組成部分所沒(méi)有的功能，有著相同組成部分但它們的關(guān)聯(lián)和作用關(guān)系不同的兩個(gè)系統(tǒng)可呈現(xiàn)出很不相同的行為和功能。

嚴(yán)格地說(shuō)，一切實(shí)際的系統(tǒng)都是非線性的，真正的線性系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界是不存在的。但是，很大一部分實(shí)際系統(tǒng)，它們的某些主要關(guān)系特性，在一定的范圍內(nèi)，可以充分精確地用線性系統(tǒng)來(lái)加以近似地代表。并且，實(shí)際系統(tǒng)與理想化了的線性系統(tǒng)間的差別，對(duì)于所研究的問(wèn)題而言已經(jīng)小到無(wú)關(guān)緊要的程度而可予以忽略不計(jì)。

因此，從這個(gè)意義上說(shuō)，線性系統(tǒng)或者可線性化的系統(tǒng)又是大量存在的，而這正是研究線性系統(tǒng)的實(shí)際背景。

線性二次控制簡(jiǎn)介

線性控制理論是系統(tǒng)與控制理論中最為成熟和最為基礎(chǔ)的一個(gè)組成分支，是現(xiàn)代控制理論的基石。

系統(tǒng)與控制理論的其他分支，都不同程度地受到線性控制理論的概念、方法和結(jié)果的影響和推動(dòng)。

系統(tǒng)是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。系統(tǒng)可具有完全不同的屬性，如工程系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。但是，在系統(tǒng)理論中，常常抽去具體系統(tǒng)的物理或社會(huì)含義而把它抽象化為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究，這種處理方法有助于揭示系統(tǒng)的一般特性。

系統(tǒng)最基本的特征是它的整體性，系統(tǒng)的行為和性能是由其整體所決定的，系統(tǒng)可以具有其組成部分所沒(méi)有的功能，有著相同組成部分但它們的關(guān)聯(lián)和作用關(guān)系不同的兩個(gè)系統(tǒng)可呈現(xiàn)出很不相同的行為和功能。

線性二次控制理論研究對(duì)象

線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng)，它是實(shí)際系統(tǒng)的一類理想化了的模型，通?？梢杂镁€性的微分方程和差分方程來(lái)描述。

在系統(tǒng)與控制理論中，我們將主要研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通常也稱其為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)?？捎靡唤M微分方程或差分方程來(lái)表征，并且可對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和各種性質(zhì)給出嚴(yán)格和定量的數(shù)學(xué)描述。當(dāng)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)是一類最簡(jiǎn)單且研究得最多的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

在控制理論的發(fā)展過(guò)程中，依據(jù)對(duì)控制系統(tǒng)描述的數(shù)學(xué)方法不同而形成兩大類：經(jīng)典控制理論及現(xiàn)代控制理論。經(jīng)典控制理論是通過(guò)傳遞函數(shù)來(lái)表達(dá)系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系的，主要的分析和綜合方法是：頻率響應(yīng)法及根軌跡法，并且對(duì)單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和綜合是有效的。該理論有兩個(gè)局限性：第一，它只能描述單輸入—單輸出定常系統(tǒng)，難于處理多輸入—多輸出系統(tǒng)；第二，它只能表現(xiàn)系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系，而對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不能提供任何信息，難以揭示系統(tǒng)更深刻的特性?？陀^上，現(xiàn)代控制系統(tǒng)要求有一種完善的控制理論，計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步又為控制理論的發(fā)展創(chuàng)造了條件，于是產(chǎn)生了一種描述系統(tǒng)的新的數(shù)學(xué)方法——狀態(tài)空間法。狀態(tài)空間法是建立在狀態(tài)變量概念上的，稱為現(xiàn)代控制理論。

現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論比較，它適用范圍廣，可用于單輸入—單輸出系統(tǒng)或多輸入—多輸出系統(tǒng)，線性或非線性系統(tǒng)，時(shí)不變系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)。現(xiàn)代控制理論可以設(shè)計(jì)出最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)的性能指標(biāo)最佳。它是時(shí)域分析方法，對(duì)控制過(guò)程是直接的，也可以考慮任意初始條件。

現(xiàn)代控制理論從50年代中、后期開(kāi)始發(fā)展，目前已形成了若干分支，其中主要有線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論、最佳估計(jì)理論、系統(tǒng)辨識(shí)、自適應(yīng)控制及大系統(tǒng)理論等。

就線性系統(tǒng)理論來(lái)說(shuō)，由于采用的數(shù)學(xué)工具和采用的系統(tǒng)描述的不同，又分成若干平行分支，如線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法、線性系統(tǒng)的幾何理論、線性系統(tǒng)的代數(shù)理論等。狀態(tài)空間法是線性理論中一個(gè)最重要和影響最廣的分支。

研究線性多參數(shù)系統(tǒng)描述、性質(zhì)及分析與設(shè) 計(jì)方法理論的科學(xué)?，F(xiàn)代控制理論的理論基礎(chǔ)，其研 究對(duì)象為線性多輸入、多輸出系統(tǒng)。

線性多參數(shù)系統(tǒng)理論主要研究?jī)?nèi)容包括：

①線性 多參數(shù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述理論，含系統(tǒng)輸入-輸出描述、 狀態(tài)變量描述和多項(xiàng)式矩陣描述以及各種描述之間的 關(guān)系;

②線性多參數(shù)系統(tǒng)分析理論，包括系統(tǒng)的可控 性、可觀測(cè)性及穩(wěn)定性等;

③線性多參數(shù)控制系統(tǒng)設(shè) 計(jì)理論，包括狀態(tài)反饋、狀態(tài)估計(jì)及補(bǔ)償器的理論和 設(shè)計(jì)方法;

④線性多參數(shù)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)理論等。近30年來(lái)，這一理論已日趨完善，但仍在不斷發(fā)展，正在將 這一理論推廣應(yīng)用到分布系統(tǒng); 并研究設(shè)計(jì)理論所用 算法的穩(wěn)定性、良態(tài)及病態(tài)問(wèn)題，以及系統(tǒng)的物理約 束與最優(yōu)化和靈敏度等問(wèn)題。