最優(yōu)化估計模型

首先粗略估計參數的初始值，然后從初始值出發(fā)，通過反復擬合不斷搜索較優(yōu)參數值，直到模型參數取得“認為的”最優(yōu)值為止。該過程涉及兩個主要概念，一個是參數初始值粗略計算，另外一個是參數最優(yōu)估計?；鶞蕜┝糠治鲈诖嘶A上估計基準劑量值，以及基準劑量下限值。

參數初始值計算

在數值分析軟件的開發(fā)中，一般把參數初始值的計算分為三種情況。第一種情況是模型形式很復雜、不易化簡計算，而且沒有人為的經驗可以借鑒，在這種情況下一般由計算機系統(tǒng)進行隨機賦值，或者人為地猜測指定。從這樣的初始值出發(fā)不斷搜索計算，可以預想到時間的漫長以及不確定性，這樣的求取參數初始值方法一般不作為軟件的主要計算方法，有時作為計算的一種輔助辦法在軟件設置中供選擇使用。第二種情況是模型形式較復雜，里然不能通過化簡求解，但是可以借助實驗數據進行粗略計算，比如從實驗數據中選取最大反應數據，最小反應數據，平均反應值等，將這些值帶入劑量——反應模型，通過解方程組或線性回歸等數學方法求得計算結果。第三種情況是對一般常用的主要數學模型，其模型形式相對簡單，屬于線性的，或者可以化簡為線性的，比如帶有指數的，可以對模型公式取對數轉換成線性模型，然后用線性回歸方法求解。第三種方法是常見的參數初始值計算方法。

參數最優(yōu)估計

參數估計也稱為參數推斷，是統(tǒng)計學中的一項重要統(tǒng)計推斷。參數估計方法分為點估計和區(qū)間估計兩類，點估計是指由樣本觀察值計算模型參數的估計值，到今天為止形成很多方法，包括最容易計算的矩估計，最常用最經典的極大似然估計，通過使均方誤差最小的最小二乘法，還有1958年由圖基提出的適用于有偏樣木或存在異常值等情況的“刀切法”以及適用于多數概率分布的穩(wěn)健估計，假設參數具有先驗分布的貝葉斯估計等。區(qū)間估計是估計參數的一個可信區(qū)間，主要方法有樞軸法、自助法和貝葉斯法等。

極大似然估計法，其基本思想是如果能找到這樣的參數，參數使得出現(xiàn)己有實驗樣本的概率是最大的，那么就理所當然的認為這樣的參數就是最好的，將這些值做為真實值的估計。極大似然估計法由統(tǒng)計學家和遺傳學家在1912年最開始使用，如果假設模型正確，使用極大似然估計法推斷參數是最優(yōu)的。使用極大似然估計，首先要定義似然函數，但有時候似然函數存在，有時候不存在，或者可能還不唯一。在基準劑量反應模型巾，適用于二分數據的反應模型般認為是服從二項分布的，適用于連續(xù)數據的反應模型是服從正太分布的，有時也可以是對數正太分布，因此，都存在對應的似然函數。

參數估計是由樣本推測總體分布的重要方法之一，但是在參數估計和最優(yōu)化求解相分離的情況下，參數估計就會造成目標函數的實際值偏差理論值，得到低效的結果，需采取有效的修正方法。2100433B

在工業(yè)、農業(yè)、交通運輸、商業(yè)、國防、建筑、通信、政府機關等各部門各領域的實際工作中，我們經常會遇到求函數的極值或最大值最小值問題，這一類問題我們稱之為最優(yōu)化問題。而求解最優(yōu)化問題建立的模型被稱為最優(yōu)化模型。它主要解決最優(yōu)生產計劃、最優(yōu)分配、最佳設計、最優(yōu)決策、最優(yōu)管理等求函數最大值最小值問題。

最優(yōu)化問題的目的有兩個：①求出滿足一定條件下，函數的極值或最大值最小值；②求出取得極值時變量的取值。最優(yōu)化問題所涉及的內容種類繁多，有的十分復雜，但是它們都有共同的關鍵因素：變量，約束條件和目標函數。

變量是指最優(yōu)化問題中所涉及的與約束條件和目標函數有關的待確定的量。一般來說，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標函數緊密關聯(lián)。

最優(yōu)化問題中，求目標函數的極值時，變量必須滿足的限制稱為約束條件。例如，許多實際問題變量要求必須非負，這是一種限制；在研究電路優(yōu)化設計問題時，變量必須服從電路基本定律，這也是一種限制等等。在研究問題時，這些限制我們必須用數學表達式準確地描述它們 。

水利規(guī)劃中現(xiàn)有的大系統(tǒng)優(yōu)化模型可歸納為3類。

水資源大系統(tǒng)最優(yōu)化大系統(tǒng)遞階模型

即規(guī)劃系統(tǒng)分多層組成，其最上層為整個水利規(guī)劃問題的協(xié)調優(yōu)化模型，以下各層則為暫時割斷彼此聯(lián)系的各子系統(tǒng)的優(yōu)化模型，上、下層之間各由協(xié)調變量聯(lián)結，通過反復修改協(xié)調變量和交替進行上、下層優(yōu)化模型的迭代計算，以獲得整個水利規(guī)劃的優(yōu)化決策。這一模型具有降低維數、便于優(yōu)化運算和仿真性好等優(yōu)點，已廣泛應用于中國各類水利規(guī)劃中。

水資源大系統(tǒng)最優(yōu)化大系統(tǒng)組合模型

又稱模型系統(tǒng)，根據大型復雜水利規(guī)劃問題建立由一組單一模型（如各種數學規(guī)劃模型、模擬模型等）構成的組合模型。但模型本身不具有一定的結構模式，而由多個模塊組成，如各項工程布局和規(guī)模的優(yōu)選模塊、上程排序模塊和經濟社會和環(huán)境評價模塊等。這些模塊通常都按各項水利規(guī)劃優(yōu)化決策要求，以一定的順序和層次進行有機組合，使其具有多種決策功能且仿真性能好又能便于求解。20世紀80年代以來，它已成功地廣泛應用于中國水利規(guī)劃中，如將包括多維隨機動態(tài)規(guī)劃、多目標規(guī)劃和大系統(tǒng)分解協(xié)調等模型在內的多目標多層次組合模型用于庫群電站優(yōu)化規(guī)劃：將包括線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數規(guī)劃、模擬技術以及大系統(tǒng)分解協(xié)調等模型在內的組合模型應用于地區(qū)水資源優(yōu)化規(guī)劃等。

水資源大系統(tǒng)最優(yōu)化大系統(tǒng)廣義模型

把數學模型和知識模型融合于一體的優(yōu)化決策模型，可用以求解水利規(guī)劃中難以定量的半結構化和非結構化決策問題。廣義模型的建模途徑一般有：①將人的知識和經驗，利用專家評分法、層次分析法以及專家系統(tǒng)等與數學模型結合構成。②將知識和經驗組合到不同于一般數學規(guī)劃模型的模糊決策模型、灰色系統(tǒng)模型和人工神經網絡模型中。③運用交互作用原理，將人的知識和經驗，借助專家系統(tǒng)，在計算機上實現(xiàn)與數學模型的結合，形成一種人機協(xié)調的模型。開展廣義模型的研究和應用既是近1 0年來大系統(tǒng)優(yōu)化理論中的重要進展之一，也是今后的重要發(fā)展方向。

用戶如果不能馬上根據專業(yè)知識或是觀測量數據本身的特點確定一種最佳模型，也可以利用曲線估計在11種不同的回歸模型中選擇建立一個簡單而又比較適合的模型。SPSS可完成表1中有關曲線擬合的功能。

在SPSS曲線估計中，首先，在不能明確究竟哪種模型更接近樣本數據時可在多種可選擇的模型中選擇幾種模型；然后，SPSS自動完成模型的參數估計，并輸出回歸方程顯著性檢驗的F值和相伴概率p值、判定系數R²等統(tǒng)計量；最后，以判定系數為主要依據選擇其中的最優(yōu)模型，并進行預測分析等。另外，SPSS曲線估計還可以以時間為解釋變量，實現(xiàn)時間序列的簡單回歸分析和趨勢外推分析。

點估計的關鍵在于找到上面所提到的“按照某種原則構成的適當的函數”，從而去對未知參數進行估計。這樣，“適當的雨數”并不是唯一的，因此就構成了不同的點估計法，常用的方法有矩法、最大似然法、子樣中位數法、截尾法等。對于同一個參數，用不同的方法來估計可能得到不同的估計量，而未知量的最優(yōu)估計量( 也稱為最佳估計量)是估計量必須同時滿足無偏性、一致性和有效性的要求。下面討論這些性質的含意 。

估計值無偏性

估計量由隨機抽取的子樣決定，每一組子樣得到的估計量會由于隨機抽樣的影響而有,所不同，所以，估計量是隨機變量，我們希望估計量是在真值附近徘徊，隨著子樣容量n的增大，徘徊的幅度越來越小，亦即希望估計量的數學期望等于真值。所以，設未知參數的真值(理論值)為\hat{ heta }，其估計量為

估計值一致性

一致性是要求參數估計量

其中，n為子樣容量。此外，若

估計值有效性

設

此外，在所有對同一參數的無偏估計量中。各估計量的方差有一個下限

數理統(tǒng)計理論已經證明：具有無偏性、最優(yōu)性的估計量必是一致性估計量，因此，在測量平差中，對參數估值的評選標準為最優(yōu)和無偏，稱為最優(yōu)無偏估值 。2100433B