反比例函數(shù)

過反比例函數(shù)圖像上任意一點P（x,y），作兩坐標軸的垂線，兩垂足、原點、P點組成一個矩形，矩形的面積為k的絕對值。

過反比例函數(shù)一點，作垂線，并連接原點，三角形的面積為k絕對值的一半。

研究函數(shù)問題要透視函數(shù)的本質特征。反比例函數(shù)中，比例系數(shù)k有一個很重要的幾何意義。

所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)。這個常數(shù)是k的絕對值。在解有關反比例函數(shù)的問題時，若能靈活運用反比例函數(shù)中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。

一般的，如果兩個變量x,y之間的關系可以表示成y=k/x(k為常數(shù)，k≠0），其中k叫做反比例系數(shù)，x是自變量，y是自變量x的函數(shù)，x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù),且y也不能等于0。k>0時，圖像在一、三象限。k<0時，圖像在二、四象限.k的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積。

反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）,反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。

當k>0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內；當k<0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內，兩個分支無限接近x和y軸，但永遠不會與x軸和y軸相交. 反比例函數(shù)

圖象畫法

1）列表

2）在平面直角坐標系中標出點。

3）用平滑的曲線連接點。

當兩個數(shù)相等時那么曲線呈彎月型

形如

(k為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

反比例函數(shù)圖像性質：反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有，圖像關于原點對稱。

另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數(shù)圖象。

當K>0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)

當K<0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)

反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

反比例函數(shù)圖像上有一點P（m, n）其坐標是關于t的一元二次方程 t2+3t+k=0的兩根直線，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函數(shù)的解析式．

分析：

要求反比例函數(shù)解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關于k的方程．

解：∵ m, n是關于t的方程 的兩根雙曲線

∴ m+n=-3，mn=k,

又 m2+n2=13, m+n=-3;

∴ (m+n)2-2mn=13, m+n=-3;

∴ 9-2k=13

∴ k=-2

∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-2/x.

直線與位于第二象限的雙曲線 相交于A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求：

（1）求雙曲線的解析式

分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段，

設A點坐標為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|，

根據(jù)矩形的面積公式知|m·n|=6.

由已知條件知，該雙曲線位于第二、四象限，因此，A點坐標值異號，

即雙曲線的解析式為xy=-6.

已知一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù) y=x/k（k≠0）

（1）k滿足什么條件時，這兩個函數(shù)在同一坐標系中的圖像有兩個交點？

（2）當圖像有兩個交點時（設為A和B），判斷∠AOB是銳角、鈍角還是直角？說明理由。

解（1）一次函數(shù)y=-x+6和反比例函數(shù)y=x/k（k不等于零）有兩個交點，即

化簡的 有兩個交點 則方程有兩個不同的解

即所以k<9且k不等于0

（2）當0<k<9時 兩交點在第一象限所以∠AOB是銳角 當k<0時 兩交點分別在第二和第四象限所以∠AOB是鈍角

已知函數(shù).

（1）當m為何值時，y是x的正比例函數(shù)?

（2）當m為何值時，y是x 的反比例函數(shù)？

解（1）正比例函數(shù)則x次數(shù)是1

(m-2)(m+1)=0

m=2,m=-1

系數(shù)不等于0

m-1≠0

所以m=2,m=-1

（2）反比例函數(shù)則x次數(shù)是-1

m(m-1)=0

m=0,m=1

系數(shù)不等于0

m-1≠0

所以舍去m=1

因此m=0

一矩形的面積為24，則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關系是什么?請寫出函數(shù)表達式，若要求矩形的各邊長均為整數(shù)，請畫出所有可能的的矩形。

解 面積xy=24

函數(shù)表達式(x>0)

矩形的各邊長均為整數(shù)

可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24或2，4，8,16,32,64等

x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù)

（即：y=kx^-1）

(k為常數(shù)且k≠0，x≠0）

若此時比例系數(shù)為：

自變量的取值范圍

① 在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實 數(shù)；②函數(shù) y 的取值范圍也是任意非零實數(shù)。

解析式

其中x是自變量，y是x的函數(shù)，其定義域是不等于0的一切實數(shù)，

即 |x|x≠0,x屬于R這個范圍。R是實數(shù)范圍。也就是x是實數(shù)}。下面是一些常見的形式：

k為常數(shù)(k≠0)，x不等于0

當k>0時，圖像分別位于第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減??；

當k<0時，圖像分別位于第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。

k>0時，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x<0上為增函數(shù)、在x>0上同為增函數(shù)。

因為在

(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖像不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

在一個反比例函數(shù)圖像上任取兩點，過原點分別作x軸，y 軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為|k| ，

反比例函數(shù)上一點 向x 、y 軸分別作垂線，分別交于y軸和x軸，則QOWM的面積為k|，則連接該矩形的對角線即連接OM,則RT△OMQ的面積=?|k|

反比例函數(shù)的圖像既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=±x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。

反比例函數(shù)圖像不與x軸和y軸相交的漸近線為：x軸與y軸。

k值相等的反比例函數(shù)圖像重合，k值不相等的反比例函數(shù)圖像永不相交。

|k|越大，反比例函數(shù)的圖像離坐標軸的距離越遠。

反比例函數(shù)圖像是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函數(shù)的圖像也是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x和y=-x；反比例函數(shù)圖像上的點關于坐標原點對稱。

圖像關于原點對稱。若設正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù) 交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。

反比例函數(shù)關于正比例函數(shù)y=±x軸對稱,并且關于原點中心對稱。

與正比例函數(shù)交點

設在平面內有反比例函數(shù) 和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則反比例減去一次函數(shù)為零 。