反射原理公理集合論

數(shù)理邏輯的主要分支之一，是用公理化方法處理樸素集合論的內(nèi)容的理論，更重要的，是研究集合論的元數(shù)學(xué)性質(zhì)——集合論的模型、各公理的關(guān)系、各系統(tǒng)之間的關(guān)系、各種不可判定語(yǔ)句以及集合論公理化過(guò)程中所提出的種種新方法和新問(wèn)題的理論。

1908年，策梅羅提出了第一個(gè)集合論公理系統(tǒng)，旨在避免集合論中的悖論。20世紀(jì)20年代，弗倫克爾和斯科朗加以改進(jìn)和補(bǔ)充，得到常用的策梅羅一弗倫克爾公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)記為ZF。這是一個(gè)建立在有等詞和屬于關(guān)系的一階謂詞演算之上的形式系統(tǒng)。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、無(wú)序?qū)怼⒉⒓?、冪集公理、替換公理模式、正則公理。如果另加選擇公理(AC)，則所得到的公理系統(tǒng)簡(jiǎn)記為ZFC。

已經(jīng)證明，ZF對(duì)于發(fā)展集合論是足夠的，它能避免已知的集合論悖論，并在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中提供一種方便的語(yǔ)言和工具。在ZF中，幾乎所有的數(shù)學(xué)概念都能用集合論語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。數(shù)學(xué)定理也大都可以在ZFC系統(tǒng)內(nèi)得到形式證明。因而作為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，ZFC是完備的。數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性可歸結(jié)為ZFC的無(wú)矛盾性。

由哥德爾的不完全性定理可知，如果ZF是無(wú)矛盾的，則在ZF中不能證明自身的無(wú)矛盾性。所以，在公理集合論中只考慮相對(duì)無(wú)矛盾性問(wèn)題，解決的方法是構(gòu)造模型，常用的三種方法是：內(nèi)模型法，外模型法(力迫方法)，對(duì)稱模型法。1938年，哥德爾證明了CH對(duì)于ZFC的相對(duì)無(wú)矛盾性，用的就是內(nèi)模型法。1963年，科恩創(chuàng)立外模型法，證明了CH相對(duì)于ZF的獨(dú)立性。

公理集合論的一個(gè)研究領(lǐng)域是由樸素集合論中對(duì)無(wú)限組合問(wèn)題的研究發(fā)展而來(lái)的組合集合論。另一個(gè)研究領(lǐng)域是描述集合論(解析理論)，主要探討劃分層次(級(jí))后的實(shí)數(shù)子集的結(jié)構(gòu)性質(zhì)問(wèn)題。在研究這兩個(gè)領(lǐng)域的許多問(wèn)題時(shí)，都要用到ZF(或ZFC)以外的附加假設(shè)(公理)才能判定。常用的附加假設(shè)有：可構(gòu)成公理，各種大基數(shù)公理以及與AC不相容的決定性公理等。

1938年，哥德爾提出了可構(gòu)成公理，20世紀(jì)60—70年代，這一公理得到重視和發(fā)展。大基數(shù)公理雖然早已提出(在ZF 大基數(shù)公理(即“存在一大基數(shù)”)的公理系統(tǒng)中，可以證明ZF是無(wú)矛盾的)，但直到20世紀(jì)60年代以后才作為公理集合論某一領(lǐng)域的附加假設(shè)使用。幾乎每一種大基數(shù)都是ω的某種性質(zhì)向不可數(shù)基數(shù)的推廣?？蓸?gòu)成性、大基數(shù)和力迫方法(外模型法)已成為當(dāng)代公理集合論研究的三大主流，它們又是三種重要的工具。隨著無(wú)限對(duì)策的產(chǎn)生和對(duì)策論在數(shù)學(xué)各分支中的滲透，決定性公理也日益受到重視。

解釋集合論語(yǔ)言的系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)。設(shè)M為非空集合或真類，E為M上的一個(gè)二元關(guān)系，則結(jié)構(gòu)〈M，E〉為集合論語(yǔ)言的一個(gè)模型，M稱為模型的域。這里，集合論全域V中的每個(gè)集合被解釋成M中的一個(gè)元素，集合的屬于關(guān)系∈被解釋成二元關(guān)系E。對(duì)任意集合論語(yǔ)言中的合式公式φ，模型〈M，E〉與φ的滿足關(guān)系〈M，E〉?φ，可遞歸定義如下：

1.若φ為原子公式，則〈M，E〉?x=y，當(dāng)且僅當(dāng)x=y;〈M，E〉?x∈y，當(dāng)且僅當(dāng)x∈y。

2.若φ形如φ₁∧φ₂，則〈M，E〉?φ₁∧φ₂，當(dāng)且僅當(dāng)〈M，E〉?φ₁且〈M，E〉?φ₂。

3.若φ形如?ψ，則〈M，E〉??ψ，當(dāng)且僅當(dāng)〈M，E〉?ψ不成立。

4.若φ形如?xψ，則〈M，E〉??xψ，當(dāng)且僅當(dāng)存在a∈M使〈M，E〉?ψ(a)。

集合論模型與模型論中定義的模型有著非常密切的關(guān)系。一方面集合論模型只是對(duì)集合論語(yǔ)言的解釋，因此，它是一種特定語(yǔ)言的模型;另一方面模型論中的模型之論域必須為一集合，而集合論模型的域可以為一真類。盡管兩者有一定區(qū)別，但模型論中的許多定理，如完備性定理、LST定理、緊致性定理等在集合論中均有相應(yīng)的形式。

數(shù)理邏輯的一個(gè)分支，是研究形式語(yǔ)言及其解釋(模型)之間關(guān)系的理論。

用模型來(lái)研究數(shù)學(xué)理論可追溯到非歐幾里得幾何學(xué)的無(wú)矛盾性證明(見解釋)：建立歐氏幾何模型，從而證明了非歐幾何相對(duì)于歐氏幾何的無(wú)矛盾性。20世紀(jì)20年代后，隨著證明論的創(chuàng)立和發(fā)展，對(duì)形式系統(tǒng)的研究不斷深入，許多問(wèn)題是依賴于模型(解釋)來(lái)研究的，例如可用各種模型來(lái)論證一組(形式)語(yǔ)句的無(wú)矛盾性或范疇性，也可用模型來(lái)論證一語(yǔ)句對(duì)一組語(yǔ)句的獨(dú)立性等等。因而形式語(yǔ)言與其解釋之間的關(guān)系問(wèn)題日益受到重視，成為重要的研究對(duì)象。

最早的模型論研究是勒文海姆和斯科朗等人的工作。1915年勒文海姆證明：每一組有限多語(yǔ)句如果有模型的話，則它也有一個(gè)可數(shù)模型。1920年斯科朗把這一結(jié)果推廣到有可數(shù)個(gè)語(yǔ)句的情況。20世紀(jì)30年代哥德爾、馬爾采夫等人在緊致性定理方面的工作也是重要的奠基性工作。但是直到20世紀(jì)50年代，模型論才正式成為一門新的學(xué)科，主要標(biāo)志是1949年亨肯發(fā)表的完全性定理的新證明，1950年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上塔爾斯基與A.魯賓遜的報(bào)告以及1951年A.魯賓遜《代數(shù)的元數(shù)學(xué)》的發(fā)表。

一個(gè)形式語(yǔ)言?的解釋u稱為此語(yǔ)言的一個(gè)模型或結(jié)構(gòu)。u是一個(gè)具有若干運(yùn)算、關(guān)系及特指元素的非空集合，也稱為泛代數(shù)。所以，模型論又被形容為“泛代數(shù) 邏輯”。由于所涉及的邏輯系統(tǒng)不同，模型論可分為：一階模型論、高階模型論、模態(tài)模型論、多值模型論等。由于在數(shù)理邏輯中以一階邏輯發(fā)展最成熟，所以，模型論中也以一階模型論的內(nèi)容最豐富，應(yīng)用也最多。

構(gòu)造模型是模型論的重要課題，模型論采用了許多獨(dú)特的構(gòu)模方法和工具。例如20世紀(jì)50年代塔爾斯基與沃特提出的初等子模型；20世紀(jì)70年代A.魯賓遜等人提出的模型論力迫法；由斯科朗提出而在20世紀(jì)50年代由沃希等人作了系統(tǒng)化的超積等。這些方面后來(lái)都有新的發(fā)展。

模型論應(yīng)用于數(shù)學(xué)各分支，取得了許多新結(jié)果。在代數(shù)方面應(yīng)用，取得群論和域論的一些結(jié)果，如阿克斯與科琴用它解決了著名的阿廷猜想。在分析方面應(yīng)用，A.魯賓遜構(gòu)建了非標(biāo)準(zhǔn)分析(1960—1961年)，現(xiàn)已發(fā)展為一整套非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)。

反射原理(reflection principle)亦稱反射定理。模型論中LST定理的集合論形式。設(shè)φ₁，φ₂，…，φ_n為ZF系統(tǒng)的任意有限條公理，則存在集合模型M，使M?φ₁∧φ₂∧…φ_n，即M為φ₁，φ₂，…，φ_n的模型。這一結(jié)論稱為反射原理。在ZF系統(tǒng)中，不可能證明存在ZF系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)集合模型，但由反射原理，可以證明(在ZF系統(tǒng)中)，任何有限片段均存在集合模型。反射原理還可以表述為下列更一般的形式：設(shè)H為一個(gè)類，對(duì)每個(gè)序數(shù)α，設(shè)Z(α)為一個(gè)集合，且滿足：

1.α<β→Z(α)?Z(β)；

2.若γ為極限序數(shù)，則

3.

則在ZF系統(tǒng)中可以證明，對(duì)任何公式Φ及任意序數(shù)α，存在序數(shù)β>α，使得Z?Φ，當(dāng)且僅當(dāng)Z(β)?Φ即公式Φ對(duì)Z(β)，Z絕對(duì)。反射原理由蒙太古(Montague，R.)最先給出，它在公理集合論中有著非常廣泛的應(yīng)用。

在地表以人工方法激發(fā)地震波，在向地下傳播時(shí)，遇有介質(zhì)性質(zhì)不同的巖層分界面，地震波將發(fā)生反射與折射，在地表或井中用檢波器接收這種地震波。收到的地震波信號(hào)與震源特性、檢波點(diǎn)的位置、地震波經(jīng)過(guò)的地下巖層的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有關(guān)。通過(guò)對(duì)地震波記錄進(jìn)行處理和解釋，可以推斷地下巖層的性質(zhì)和形態(tài)。反射地震勘探在分層的詳細(xì)程度和勘查的精度上，都優(yōu)于其他地球物理勘探方法。反射地震勘探的深度一般從數(shù)十米到數(shù)十千米。

爆炸震源是反射地震勘探中廣泛采用的非人工震源。目前已發(fā)展了一系列地面震源，如重錘、連續(xù)震動(dòng)源、氣動(dòng)震源等，但陸地地震勘探經(jīng)常采用的重要震源仍為炸藥。海上反射地震勘探除采用炸藥震源之外，還廣泛采用空氣槍、蒸汽槍及電火花引爆氣體等方法。

鏡質(zhì)體反射率的測(cè)定是根據(jù)光電轉(zhuǎn)換元件所接收的反射光強(qiáng)度與其光電信號(hào)成正比的原理，在相同的入射條件下，通過(guò)對(duì)比鏡質(zhì)體與已知反射率的標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的光電信號(hào)，進(jìn)而求得鏡質(zhì)體反射率值。

其中：

R_v：煤的鏡質(zhì)體反射率，％。

R_s：標(biāo)樣反射率，％。

I_v：鏡質(zhì)體反射光電信號(hào)。

I_s：標(biāo)樣反射光電信號(hào)。