H定理

物理量H由

對于孤立理想氣體（總能量和分子數量不變），函數 H 在麥克斯韋-玻爾茲曼分布下有極小值；如果系統(tǒng)處于其他分布（比如說，全分子擁有相同能量），H會有較高的值。下一段會提到，根據玻爾茲曼H定理，當允許分子碰撞時，這些分布并不穩(wěn)定，并且會不可逆的最小化函數H（朝向麥克斯韋-玻爾茲曼分布） 。

雖然玻爾茲曼H定理并不真的證明最初宣稱的熱力學第二定律，H定理讓玻爾茲曼對熱力學的本質做出越來越多概率的論述。熱力學的概率觀點最終在1902年讓約西亞·威拉德·吉布斯將統(tǒng)計力學從氣體推廣到一般的系統(tǒng)，并引入了廣義的系綜。

動力方程，特別是玻爾茲曼的分子混沌假設啟發(fā)了至今仍用來描述粒子運動的玻爾茲曼方程家族，例如半導體中的電子。在許多情況下分子混沌假設仍是相當準確的，并可以拋棄復雜的粒子間的相關性讓計算更簡單。2100433B

H定理是早期用來展現統(tǒng)計物理的威力。H定理可以從可逆微觀機制推導出熱力學第二定律。它被認為可以否證熱力學第二定律。H定理可以很自然地從玻爾茲曼提出的動力學方程“玻爾茲曼方程”推導出。H定理衍伸出許多關于其真實含意的討論，主要如下：

1）熵是什么？ 什么情況下物理量H可以等同于熱力學熵？

2）玻爾茲曼方程背后的假設（尤其是分子混沌的假設）是否太強？什么時候這些假設會被破壞？

在經典氣體模型中，氣體分子的運動看起來很混亂。玻爾茲曼說明了假設每次碰撞是隨機且獨立的，系統(tǒng)會向麥克斯韋分布收束，就算一開始并非符合該分布。玻爾茲曼思考分子碰撞會發(fā)生什么事。根據基本的經典力學，兩個粒子彈性（例如鋼球模型）碰撞的能量轉移會根據不同的初始狀態(tài)而不同（碰撞的角度等）。

玻爾茲曼做了一個很關鍵的假設，稱為“分子渾沌假設”。在任何一次氣體碰撞中，參與碰撞的分子會獨立地選取分布中的動能、運動方向和起始位置。在這些假設之下，并且給定能量轉移的機制，碰撞后的粒子能量會遵守一個特定的隨機分布。

考慮所有分子間重復多次獨立的碰撞事件，玻爾茲曼建構出動力方程：玻爾茲曼方程。從玻爾茲曼方程可知，碰撞過程的自然結果會讓H下降，直到H達到最小值為止 。

最大直徑定理(maximal diameter theorem )是關于正曲率流形與同維球面等距的定理。

設M是n維完備黎曼流形，其里奇曲率>(n-1)H}0，其中H是常數.若它的直徑等于耐、儷，，則M必與Rn }中半徑為1/的球面sn y l!等距.上述定理是鄭紹遠證明的，后來鹽洪勝博(Shiohama,K. )利用體積比較定理給出該定理的一個比較初等的證明.在此之前，托波諾戈夫(Toponogov,V.A.)曾經在M的截面曲率)H>0的條件下，證明了上述定理.博內一邁爾斯定理斷言:若M的里奇曲率)(n-1)H>0，則它的直徑必鎮(zhèn)耐、厲.因此，最大直徑定理是博內一邁爾斯定理的補充.