H定理影響

雖然玻爾茲曼H定理并不真的證明最初宣稱的熱力學(xué)第二定律，H定理讓玻爾茲曼對(duì)熱力學(xué)的本質(zhì)做出越來越多概率的論述。熱力學(xué)的概率觀點(diǎn)最終在1902年讓約西亞·威拉德·吉布斯將統(tǒng)計(jì)力學(xué)從氣體推廣到一般的系統(tǒng)，并引入了廣義的系綜。

動(dòng)力方程，特別是玻爾茲曼的分子混沌假設(shè)啟發(fā)了至今仍用來描述粒子運(yùn)動(dòng)的玻爾茲曼方程家族，例如半導(dǎo)體中的電子。在許多情況下分子混沌假設(shè)仍是相當(dāng)準(zhǔn)確的，并可以拋棄復(fù)雜的粒子間的相關(guān)性讓計(jì)算更簡(jiǎn)單。2100433B

在經(jīng)典氣體模型中，氣體分子的運(yùn)動(dòng)看起來很混亂。玻爾茲曼說明了假設(shè)每次碰撞是隨機(jī)且獨(dú)立的，系統(tǒng)會(huì)向麥克斯韋分布收束，就算一開始并非符合該分布。玻爾茲曼思考分子碰撞會(huì)發(fā)生什么事。根據(jù)基本的經(jīng)典力學(xué)，兩個(gè)粒子彈性（例如鋼球模型）碰撞的能量轉(zhuǎn)移會(huì)根據(jù)不同的初始狀態(tài)而不同（碰撞的角度等）。

玻爾茲曼做了一個(gè)很關(guān)鍵的假設(shè)，稱為“分子渾沌假設(shè)”。在任何一次氣體碰撞中，參與碰撞的分子會(huì)獨(dú)立地選取分布中的動(dòng)能、運(yùn)動(dòng)方向和起始位置。在這些假設(shè)之下，并且給定能量轉(zhuǎn)移的機(jī)制，碰撞后的粒子能量會(huì)遵守一個(gè)特定的隨機(jī)分布。

考慮所有分子間重復(fù)多次獨(dú)立的碰撞事件，玻爾茲曼建構(gòu)出動(dòng)力方程：玻爾茲曼方程。從玻爾茲曼方程可知，碰撞過程的自然結(jié)果會(huì)讓H下降，直到H達(dá)到最小值為止 。

物理量H由

對(duì)于孤立理想氣體（總能量和分子數(shù)量不變），函數(shù) H 在麥克斯韋-玻爾茲曼分布下有極小值；如果系統(tǒng)處于其他分布（比如說，全分子擁有相同能量），H會(huì)有較高的值。下一段會(huì)提到，根據(jù)玻爾茲曼H定理，當(dāng)允許分子碰撞時(shí)，這些分布并不穩(wěn)定，并且會(huì)不可逆的最小化函數(shù)H（朝向麥克斯韋-玻爾茲曼分布） 。

H定理是早期用來展現(xiàn)統(tǒng)計(jì)物理的威力。H定理可以從可逆微觀機(jī)制推導(dǎo)出熱力學(xué)第二定律。它被認(rèn)為可以否證熱力學(xué)第二定律。H定理可以很自然地從玻爾茲曼提出的動(dòng)力學(xué)方程“玻爾茲曼方程”推導(dǎo)出。H定理衍伸出許多關(guān)于其真實(shí)含意的討論，主要如下：

1）熵是什么？ 什么情況下物理量H可以等同于熱力學(xué)熵？

2）玻爾茲曼方程背后的假設(shè)（尤其是分子混沌的假設(shè)）是否太強(qiáng)？什么時(shí)候這些假設(shè)會(huì)被破壞？

最大直徑定理(maximal diameter theorem )是關(guān)于正曲率流形與同維球面等距的定理。

設(shè)M是n維完備黎曼流形，其里奇曲率>(n-1)H}0，其中H是常數(shù).若它的直徑等于耐、儷，，則M必與Rn }中半徑為1/的球面sn y l!等距.上述定理是鄭紹遠(yuǎn)證明的，后來鹽洪勝博(Shiohama,K. )利用體積比較定理給出該定理的一個(gè)比較初等的證明.在此之前，托波諾戈夫(Toponogov,V.A.)曾經(jīng)在M的截面曲率)H>0的條件下，證明了上述定理.博內(nèi)一邁爾斯定理斷言:若M的里奇曲率)(n-1)H>0，則它的直徑必鎮(zhèn)耐、厲.因此，最大直徑定理是博內(nèi)一邁爾斯定理的補(bǔ)充.