極差計算示例

例：求下列數(shù)字集的極差

65、81、73、85、94、79、67、83、82

解：極差指的是這些數(shù)字分開得有多遠，計算方法是：用其中最大的數(shù)減去最小的數(shù)。

首先找其中最大的數(shù)，65、81、73、85、94、79、67、83、82

最大數(shù)是94，94比其他數(shù)都大，所以它是這些數(shù)字中最大的。然后要減去這些數(shù)字中最小的。該數(shù)字集中最小的數(shù)字是65。

那么極差是：

94?65=29

這個數(shù)字越大，表示分得越開，最大數(shù)和最小數(shù)之間的差就越大，該數(shù)越小，數(shù)字間就越緊密，這就是極差的概念。

在統(tǒng)計中常用極差來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，以及反映的是變量分布的變異范圍和離散幅度，在總體中任何兩個單位的標準值之差都不能超過極差。同時，它能體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動的范圍。極差越大，離散程度越大，反之，離散程度越小。

極差只指明了測定值的最大離散范圍，而未能利用全部測量值的信息，不能細致地反映測量值彼此相符合的程度，極差是總體標準偏差的有偏估計值，當乘以校正系數(shù)之后，可以作為總體標準偏差的無偏估計值，它的優(yōu)點是計算簡單，含義直觀，運用方便，故在數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理中仍有著相當廣泛的應用。 但是，它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況，同時易受極端值的影響。

移動極差（Moving Range），是指兩個或多個連續(xù)樣本值中最大值與最小值之差，這種差是按這樣方式計算的：每當?shù)玫揭粋€額外的數(shù)據(jù)點時，就在樣本中加上這個新的點，同時刪除其中時間上“最老的”點，然后計算與這點有關(guān)的極差，因此每個極差的計算至少與前一個極差的計算共用一個點的值。一般說來，移動極差用于單值控制圖，并且通常用兩點（連續(xù)的點）來計算移動極差。

最直接也是最簡單的方法，即最大值－最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應用。極差=最大標志值—最小標志值

R=x_max-x_min

（其中，x_max為最大值，x_min為最小值）

例如 ：12 12 13 14 16 21

這組數(shù)的極差就是 ：21－12=9

另附：方差計算公式：s²=

最直接也是最簡單的方法，即最大值－最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應用。

極差公式移動極差

（Moving Range）

兩個或多個連續(xù)樣本值中最大值與最小值之差，這種差是按這樣方式計算的：每當?shù)玫揭粋€額外的數(shù)據(jù)點時，就在樣本中加上這個新的點，同時刪除其中時間上“最老的”點，然后計算與這點有關(guān)的極差，因此每個極差的計算至少與前一個極差的計算共用一個點的值。一般說來，移動極差用于單值控制圖，并且通常用兩點（連續(xù)的點）來計算移動極差。

極差公式離均差的平方和

由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學的。所以人們在要求更高的領(lǐng)域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準確的離散程度。和越大離散度也就越大。

但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負問題，在數(shù)學有上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指標。

極差公式方差（S2）

由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關(guān)，只能反應相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將標準差求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標。

我們知道，樣本量越大越能反映真實的情況，而算數(shù)均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學上早有考慮，在統(tǒng)計學中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

① 離散程度的通俗解釋——波動大小，

② 為什么要研究一組數(shù)據(jù)的離散程度。

全面認識一組數(shù)據(jù)的兩個特征：

探索平均數(shù)的代表性。

實際問題的需要。

③探索如何表示一組數(shù)據(jù)的離散程度——方差的形

成過程。

首先，極差——比較粗略；

其次，平均差，比極差更全面，不常用；

再次，選擇方差，但數(shù)值的單位與原數(shù)據(jù)單位不

一致。

最后，常用標準差。 δ = S2

④統(tǒng)計含義的解釋——方差全面地平均地反映，

標準差全面地直接地反映。

偏離平均數(shù)——指與平均數(shù)的離差。

平均的——指離差的平均數(shù)的平均值。

全面的——指考慮了每個數(shù)據(jù)的離差。

直接的——指數(shù)值單位與原數(shù)據(jù)單位一致。

⑤應用條件——平均數(shù)相同。特殊情況，平均數(shù)相

差很小、近似相等時也可以用，不

受兩組數(shù)據(jù)個數(shù)的差異限制。

⑥實際作用：

1°直接比較：

同一時間事物或現(xiàn)象的整齊性、均勻性、一致性的差異；

不同時間過程的穩(wěn)定性、均衡性、一致性的差異；

2°比較平均數(shù)的代表性：

3°與平均數(shù)配合作統(tǒng)計分析：如:Vδ =

4°樣本估計總體。樣本比較估計總體的差異，用樣本

標準差，估計總體標準差。

*樣本估計總體的方法有兩個：點估計和區(qū)間估計。

只要求會點估計，即直接用樣本的特征數(shù)作為總體

相應參數(shù)的估計值。

極差公式標準差（SD）

由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標準差。

標準差能很客觀準確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的項目，或同一項目不同的樣本，標準差就缺乏可比性了，因此對于方法學評價來說又引入了變異系數(shù)CV。

不過日常的質(zhì)控工作檢測的都是同一質(zhì)控物所以有標準差就足以反應了，同時質(zhì)控的目的是發(fā)現(xiàn)有沒有實驗錯誤，要設(shè)制警報線，并不是要評價檢測方法，所以只可能使用標準差，而不用變異系數(shù)。

極差公式頻數(shù)分布

①頻數(shù)的通俗解釋：頻數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，小組里數(shù)據(jù)的個

數(shù)。

②數(shù)據(jù)的分組整理——分三個步驟：

一是確實分組的方法，先分組，這是整理的難點，分

組的方法，根據(jù)需要確定。分組的方法確定《課

標》不作要求。

二是累計各小組的頻數(shù)，并計算相應的頻率，用頻數(shù)

分布表表示整理的結(jié)果。

三是根據(jù)頻數(shù)分布表畫出頻數(shù)分布直方圖。

③觀察頻數(shù)分布表和分布圖，獲得數(shù)據(jù)分布的信息和分布

極差公式特征

1°數(shù)據(jù)分布最多，最集中（眾數(shù)組）和最少的小組；

2°數(shù)據(jù)分布（頻數(shù)）的變化趨勢與分布狀態(tài)；

3°中位數(shù)和平均數(shù)在哪個小組，是否是偏態(tài)分布；

4°獲取所需要的其他數(shù)據(jù)信息。2100433B