簡化測度簡介

簡化測度是一般位勢論中簡化函數(shù)的類似物。

設G是開集，ξ是超過測度，那么測度

超過測度的里斯分解式

特別地，

簡化函數(shù)是在一個子集上不小于一個給定函數(shù)的一族函數(shù)的下確界。

設Φ是一族從Ω到[0, ∞]的下半連續(xù)的函數(shù)u所組成的凸錐（必要時設 ∞∈Φ），f為E(E?Ω)到[0, ∞]的函數(shù)，令

測度問題是測度論中的著名問題。

對于直線而論，人們總希望直線上某個測度，關于它可測的集合越多越好?？蓽y集多，意味著可測函數(shù)多，從而可積函數(shù)也多。對于平面或高維空間的情形也是這樣。

所謂測度問題，就是（直線上）是否存在具有下列性質(zhì)的測度：

1、具有可列可加性；

2、（直線上的）所有子集都可測；

3、具有平移不變性；

4、[0,1]的測度是1。

測度問題是勒貝格(Lebesgue,H.L.)于1904年提出的，這個問題已經(jīng)解決，結論如下：去掉測度論性質(zhì)2,3,4中任何一條，容易舉例說明滿足其余三條的測度是存在的。性質(zhì)1,2,3,4全都滿足的測度是不存在的，特別地，直線上必存在不是勒貝格可測的集，這首先是由維塔利(Vitali,G.)于1905年指出的。

如果將測度問題性質(zhì)1換成1'：具有有限可加性，則滿足1',2,3,4的測度是存在的，但不惟一，這就是著名的巴拿赫定理。

對于空間Rⁿ(n≥2)，則有結論：

當n=2時，滿足1',2,3,4的測度是存在的。

當n≥3時，滿足1',2,3,4的測度是不存在的。

這個問題是由豪斯多夫(Hausdorff,F.)于1914年提出并于1923年解決的。 2100433B