簡(jiǎn)化測(cè)度簡(jiǎn)化函數(shù)

簡(jiǎn)化函數(shù)是在一個(gè)子集上不小于一個(gè)給定函數(shù)的一族函數(shù)的下確界。

設(shè)Φ是一族從Ω到[0, ∞]的下半連續(xù)的函數(shù)u所組成的凸錐（必要時(shí)設(shè) ∞∈Φ），f為E(E?Ω)到[0, ∞]的函數(shù)，令

超過(guò)測(cè)度的里斯分解式

特別地，

簡(jiǎn)化測(cè)度是一般位勢(shì)論中簡(jiǎn)化函數(shù)的類(lèi)似物。

設(shè)G是開(kāi)集，ξ是超過(guò)測(cè)度，那么測(cè)度

測(cè)度問(wèn)題是測(cè)度論中的著名問(wèn)題。

對(duì)于直線(xiàn)而論，人們總希望直線(xiàn)上某個(gè)測(cè)度，關(guān)于它可測(cè)的集合越多越好?？蓽y(cè)集多，意味著可測(cè)函數(shù)多，從而可積函數(shù)也多。對(duì)于平面或高維空間的情形也是這樣。

所謂測(cè)度問(wèn)題，就是（直線(xiàn)上）是否存在具有下列性質(zhì)的測(cè)度：

1、具有可列可加性；

2、（直線(xiàn)上的）所有子集都可測(cè)；

3、具有平移不變性；

4、[0,1]的測(cè)度是1。

測(cè)度問(wèn)題是勒貝格(Lebesgue,H.L.)于1904年提出的，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)解決，結(jié)論如下：去掉測(cè)度論性質(zhì)2,3,4中任何一條，容易舉例說(shuō)明滿(mǎn)足其余三條的測(cè)度是存在的。性質(zhì)1,2,3,4全都滿(mǎn)足的測(cè)度是不存在的，特別地，直線(xiàn)上必存在不是勒貝格可測(cè)的集，這首先是由維塔利(Vitali,G.)于1905年指出的。

如果將測(cè)度問(wèn)題性質(zhì)1換成1'：具有有限可加性，則滿(mǎn)足1',2,3,4的測(cè)度是存在的，但不惟一，這就是著名的巴拿赫定理。

對(duì)于空間Rⁿ(n≥2)，則有結(jié)論：

當(dāng)n=2時(shí)，滿(mǎn)足1',2,3,4的測(cè)度是存在的。

當(dāng)n≥3時(shí)，滿(mǎn)足1',2,3,4的測(cè)度是不存在的。

這個(gè)問(wèn)題是由豪斯多夫(Hausdorff,F.)于1914年提出并于1923年解決的。 2100433B