極坐標(biāo)測(cè)量法

在極坐標(biāo)中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ^2=(x^2+y^2)

直角坐標(biāo)系坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化：

例如：（2，π／3）為極坐標(biāo)，它所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為（2×cos? π／3，2×sin???π／3），及 ? ? ? ? ? ? ? ? （1，√3）；（R，a°或A·π）對(duì)應(yīng)（R·cos a°，R·sin a°）

ρ的值是可以正負(fù)的，ρ隨θ變化，負(fù)號(hào)表示反向。

極坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系統(tǒng)。該坐標(biāo)系統(tǒng)中的點(diǎn)由一個(gè)夾角和一段相對(duì)中心點(diǎn)——極點(diǎn)（相當(dāng)于我們較為熟知的直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)）的距離來(lái)表示。極坐標(biāo)系的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，包括數(shù)學(xué)、物理、工程、航海以及機(jī)器人領(lǐng)域。在兩點(diǎn)間的關(guān)系用夾角和距離很容易表示時(shí)，極坐標(biāo)系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標(biāo)系中，這樣的關(guān)系就只能使用三角函數(shù)來(lái)表示。對(duì)于很多類型的曲線，極坐標(biāo)方程是最簡(jiǎn)單的表達(dá)形式，甚至對(duì)于某些曲線來(lái)說(shuō)，只有極坐標(biāo)方程能夠表示。

眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一張求各角所對(duì)弦的弦長(zhǎng)函數(shù)的表格。并且，曾有人引用了他的極坐標(biāo)系來(lái)確定恒星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個(gè)半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻(xiàn)，盡管最終并沒(méi)有建立整個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。

關(guān)于是誰(shuí)首次將極坐標(biāo)系應(yīng)用為一個(gè)正式的坐標(biāo)系統(tǒng)，流傳著有多種觀點(diǎn)。關(guān)于這一問(wèn)題的較詳盡歷史，哈佛大學(xué)教授朱利安·盧瓦爾·科利奇的《極坐標(biāo)系起源》作了闡述。格雷瓜·德·圣-萬(wàn)桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里，被認(rèn)為在幾乎同時(shí)、并獨(dú)立地各自引入了極坐標(biāo)系這一概念。圣-萬(wàn)桑特在1625年的私人文稿中進(jìn)行了論述并發(fā)表于1647年，而卡瓦列里在1635進(jìn)行了發(fā)表，而后又于1653年進(jìn)行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標(biāo)系來(lái)解決一個(gè)關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問(wèn)題。布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算拋物線的長(zhǎng)度。

在1671年寫成，1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》（en:Method of Fluxions）一書中，艾薩克·牛頓第一個(gè)將極坐標(biāo)系應(yīng)用于表示平面上的任何一點(diǎn)。牛頓在書中驗(yàn)證了極坐標(biāo)和其他九種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在1691年出版的《博學(xué)通報(bào)》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點(diǎn)和從定點(diǎn)引出的一條射線，定點(diǎn)稱為極點(diǎn)，射線稱為極軸。平面內(nèi)任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都通過(guò)該點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和與極軸的夾角來(lái)表示。伯努利通過(guò)極坐標(biāo)系對(duì)曲線的曲率半徑進(jìn)行了研究。

實(shí)際上應(yīng)用“極坐標(biāo)”en:Polar coordinate system這個(gè)術(shù)語(yǔ)的是由格雷古廖·豐塔納開(kāi)始的，并且被18世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家所使用。該術(shù)語(yǔ)是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學(xué)與積分學(xué)》（Differential and Integral Calculus）一書時(shí)，被翻譯為英語(yǔ)的。

阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認(rèn)為是將平面極坐標(biāo)系擴(kuò)展到三維空間的數(shù)學(xué)家。

點(diǎn)(3,60°) 和 點(diǎn)（4,210°）正如所有的二維坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系也有兩個(gè)坐標(biāo)軸：r（半徑坐標(biāo)）和θ（角坐標(biāo)、極角或方位角，有時(shí)也表示為φ或t）。r坐標(biāo)表示與極點(diǎn)的距離，θ坐標(biāo)表示按逆時(shí)針?lè)较蜃鴺?biāo)距離0°射線（有時(shí)也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向。

比如，極坐標(biāo)中的（3,60°）表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度、和極軸夾角為60°的點(diǎn)。（?3,240°） 和（3,60°）表示了同一點(diǎn)，因?yàn)樵擖c(diǎn)的半徑為在夾角射線反向延長(zhǎng)線上距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的地方（240° ? 180° = 60°）。

極坐標(biāo)系中一個(gè)重要的特性是，平面直角坐標(biāo)中的任意一點(diǎn)，可以在極坐標(biāo)系中有無(wú)限種表達(dá)形式。通常來(lái)說(shuō)，點(diǎn)（r，θ）可以任意表示為（r，θ ± n×360°）或（?r，θ ± (2n + 1)180°），這里n是任意整數(shù)。[7] 如果某一點(diǎn)的r坐標(biāo)為0，那么無(wú)論θ取何值，該點(diǎn)的位置都落在了極點(diǎn)上。

極坐標(biāo)系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具體使用哪一種方式，基本都是由使用場(chǎng)合而定。航海（en:Navigation）方面經(jīng)常使用角度來(lái)進(jìn)行測(cè)量，而物理學(xué)的某些領(lǐng)域大量使用到了半徑和圓周的比來(lái)作運(yùn)算，所以物理方面更傾向使用弧度。

極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo) r 和 θ 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值

x = r*cos（θ），

y = r*sin（θ），

由上述二公式，可得到從直角坐標(biāo)系中x 和 y 兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo)

r = sqrt(x^2 + y^2),

θ= arctan y/x

在 x = 0的情況下：若 y 為正數(shù) θ = 90° （π/2 radians); 若 y 為負(fù)，則 θ = 270° (3π/2 radians).

第一個(gè)用極坐標(biāo)來(lái)確定平面上點(diǎn)的位置的是牛頓。他的《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線。書中創(chuàng)建之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。17甚至18世紀(jì)的人，一般只用一根坐標(biāo)軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。牛頓所引進(jìn)的坐標(biāo)之一，是用一個(gè)固定點(diǎn)和通過(guò)此點(diǎn)的一條直線作標(biāo)準(zhǔn)，例如我們現(xiàn)在的極坐標(biāo)系。牛頓還引進(jìn)了雙極坐標(biāo)，其中每點(diǎn)的位置決定于它到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離。由于牛頓的這個(gè)工作直到1736年才為人們所發(fā)現(xiàn)，而瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努利于1691年在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。他還給出了從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式。確切地講，J.赫爾曼把cosθ,sinθ當(dāng)作變量來(lái)使用，而且用n和m來(lái)表示cosθ和sinθ。歐拉擴(kuò)充了極坐標(biāo)的使用范圍，而且明確地使用三角函數(shù)的記號(hào)；歐拉那個(gè)時(shí)候的極坐標(biāo)系實(shí)際上就是現(xiàn)代的極坐標(biāo)系。

有些幾何軌跡問(wèn)題如果用極坐標(biāo)法處理，它的方程比用直角坐標(biāo)法來(lái)得簡(jiǎn)單，描圖也較方便。1694年，J.貝努利利用極坐標(biāo)引進(jìn)了雙紐線，這曲線在18世紀(jì)起了相當(dāng)大的作用。