可對(duì)角化矩陣

可對(duì)角化矩陣是線性代數(shù)和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個(gè)方塊矩陣 A 相似于對(duì)角矩陣，也就是說(shuō)，如果存在一個(gè)可逆矩陣 P 使得 P ?1AP 是對(duì)角矩陣，則它就被稱為 可對(duì)角化的。如果 V 是有限維度的向量空間，則線性映射 T ： V → V 被稱為 可對(duì)角化的，如果存在 V 的一個(gè)基，T 關(guān)于它可被表示為對(duì)角矩陣。 對(duì)角化是找到可對(duì)角化矩陣或映射的相應(yīng)對(duì)角矩陣的過(guò)程。
可對(duì)角化矩陣和映射在線性代數(shù)中有重要價(jià)值，因?yàn)閷?duì)角矩陣特別容易處理： 它們的特征值和特征向量是已知的，并通過(guò)簡(jiǎn)單的提升對(duì)角元素到同樣的冪來(lái)把一個(gè)矩陣提升為它的冪。
若爾當(dāng)-謝瓦萊分解表達(dá)一個(gè)算子為它的對(duì)角部分與它的冪零部分的和。

可對(duì)角化矩陣基本信息

中文名 可對(duì)角化矩陣 外文名 diagonalizable matrix
所屬領(lǐng)域 線性代數(shù)和矩陣論 所屬學(xué)科 數(shù)學(xué)
相關(guān)概念 矩陣、對(duì)角矩陣、線性變換等

如果一個(gè)矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，我們就稱這個(gè)矩陣可經(jīng)相似變換對(duì)角化，簡(jiǎn)稱可對(duì)角化；與之對(duì)應(yīng)的線性變換就稱為可對(duì)角化的線性變換。

任取

，則
可作為
上n維線性空間V的某個(gè)線性變換
在一組基
下的矩陣。

若

可對(duì)角化，即
使
成對(duì)角形，則B是
在另一組基
下的矩陣，且
，記B的主對(duì)角線元素為
，這是
的全部特征值，也是
的全部特征值(因?yàn)閮删仃囅嗨?，由線性變換的矩陣的定義知

所以，
是
的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們?cè)诨蛄拷M
下的坐標(biāo)
，即T的列向量組，就是
的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

反過(guò)來(lái)，如果

有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
，與它們對(duì)應(yīng)的特征值是
，以
為列向量組作成一個(gè)可逆矩陣T，令
，就得到
的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
，用
作為V的基，則上述方程組成立，從而
在這組基下的矩陣是對(duì)角矩陣
，并且
。

可對(duì)角化矩陣造價(jià)信息

市場(chǎng)價(jià) 信息價(jià) 詢價(jià)
材料名稱 規(guī)格/型號(hào) 市場(chǎng)價(jià)
（除稅）		 工程建議價(jià)
（除稅）		 行情 品牌 單位 稅率 供應(yīng)商 報(bào)價(jià)日期
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材料名稱 規(guī)格/型號(hào) 除稅
信息價(jià)		 含稅
信息價(jià)		 行情 品牌 單位 稅率 地區(qū)/時(shí)間
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千塊 陽(yáng)江市2003年5月信息價(jià)
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塊 廣州市從化市2008年4季度信息價(jià)
材料名稱 規(guī)格/需求量 報(bào)價(jià)數(shù) 最新報(bào)價(jià)
（元）		 供應(yīng)商 報(bào)價(jià)地區(qū) 最新報(bào)價(jià)時(shí)間
矩陣 AV0808矩陣|9416臺(tái) 4 查看價(jià)格 廣州艾索電子產(chǎn)品有限公司 廣東  廣州市 2015-08-25
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可對(duì)角化矩陣定理1

m級(jí)矩陣

或n維線性空間V的線性變換
可對(duì)角化的充要條件是
或
有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)
可對(duì)角化時(shí)，與它相似的對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素就是
的全部特征值。

由上面的分析還知道，如果求出了矩陣

的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么用這些向量作列向量的矩陣T就使
成對(duì)角形，其主對(duì)角線上的元素就是
的全部特征值(按對(duì)應(yīng)的特征向量排序)。

可對(duì)角化矩陣定理2

屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。

證明: 設(shè)

是線性變換
的m個(gè)不同的特征值，
的屬于它們的特征向量分別是
，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
線性無(wú)關(guān)。

(1)當(dāng)

時(shí)，因?yàn)樘卣飨蛄?section class="formula-container formula-container__inline"> ，它一定線性無(wú)關(guān)。

(2)假定

時(shí)，
線性無(wú)關(guān)。

當(dāng)

時(shí)，令

①

用

對(duì)兩邊作用得

②

①式兩邊乘以

得

③

從②減去③得

由歸納假設(shè)得

因?yàn)?section class="formula-container formula-container__inline"> ，所以

，將它們代入①得
，于是
也線性無(wú)關(guān)。

用

取代
的位置上述推理過(guò)程一樣正確，故定理得證。

在特征值和特征向量方面，矩陣與線性變換的理論是平行的，下面只就矩陣進(jìn)行討論，所得的結(jié)果對(duì)線性變換也成立。

可對(duì)角化矩陣推論1

若

有n個(gè)不同的特征值，則
可對(duì)角化。

因?yàn)閺?fù)數(shù)域上的n次多項(xiàng)式恰有n個(gè)根，所以我們還有下面的推論。

可對(duì)角化矩陣推論2

如果

的特征多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的根互不相等，那么
作為復(fù)數(shù)域上的矩陣一定可以對(duì)角化。

可對(duì)角化矩陣推論3

如果

是
的所有互不相同的特征值，各特征子空間
的基排列如下：

那么上述特征向量組線性無(wú)關(guān)，從而特征子空間的和是直和。

可對(duì)角化矩陣定理3

矩陣

可對(duì)角化的充要條件是
可以表為A的特征子空間的直和。

證明: 若

可對(duì)角化，根據(jù)定理1，它有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，將它們按所屬的特征值進(jìn)行分組得到特征向量組

其中子組
中各向量同屬特征值
，它們一定是A的特征子空間
的基(否則將不構(gòu)成所在特征子空間的基的各子組擴(kuò)充成所在特征子空間的基，由推論3知，A的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)大于n，這與
矛盾)，于是

反過(guò)來(lái)，設(shè)
，從各個(gè)特征子空間取出一組基就得到
的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故
可對(duì)角化。

可對(duì)角化矩陣定理4

矩陣

可對(duì)角化的充要條件是A的特征多項(xiàng)式在
上可以分解為

的形式，并且特征子空間
的維數(shù)
。

設(shè)A是數(shù)域F上n階矩陣，如果存在可逆陣P，使inv(P)AP為對(duì)角陣，那么A稱為可對(duì)角化矩陣。n階方陣A可以對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。對(duì)角矩陣的主對(duì)角線由特征值(可按任意次序)構(gòu)成，相似變換矩陣由屬于相應(yīng)特征值的特征向量構(gòu)成。

可對(duì)角化矩陣常見(jiàn)問(wèn)題

  • 矩陣主對(duì)角線

    答案：在線性代數(shù)中規(guī)定主對(duì)角線就是從左上開(kāi)始的那條對(duì)角線.也就是說(shuō)，當(dāng)在Ｃ語(yǔ)言程序中相等的時(shí)候，即從左上角到右下角而從左下角到右上角的那個(gè)叫矩陣次對(duì)角線

  • HDMI矩陣

    現(xiàn)在市場(chǎng)的價(jià)格戰(zhàn)太離譜了，導(dǎo)致很多的商家都必須用低價(jià)來(lái)吸引客戶，所以產(chǎn)品質(zhì)量往往都得不到保障。力弘(LHLEEHAM)提供全系列會(huì)議視聽(tīng)系統(tǒng)矩陣切換控制器,包含產(chǎn)品有同軸矩陣系列AHD/TVI...

  • 數(shù)字矩陣與網(wǎng)絡(luò)矩陣

    樓上恐怕還是不大了解，數(shù)字矩陣首先信號(hào)是數(shù)字信號(hào)，數(shù)字信號(hào)包括：SDI（標(biāo)清）、HD-SDI（高清）這兩種以前都是廣播級(jí)信號(hào)，都是在廣播電視應(yīng)用的，但是現(xiàn)在隨著電視會(huì)議的發(fā)展，已經(jīng)出現(xiàn)高清電視會(huì)議系統(tǒng)...

n階矩陣可對(duì)角化的充要條件:每個(gè)Ki重特征值λi對(duì)應(yīng)的特征矩陣λiE-A的秩為n-Ki。

可對(duì)角化矩陣文獻(xiàn)

矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣 矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣

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矩陣函數(shù)求導(dǎo) 首先要區(qū)分兩個(gè)概念：矩陣函數(shù)和函數(shù)矩陣 （1） 函數(shù)矩陣 ，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是多個(gè)一般函數(shù)的陣列， 包括單變量和多變量函數(shù)。 函數(shù)矩陣的求導(dǎo)和積分是作用在各個(gè)矩陣元素上，沒(méi)有更多的規(guī)則。 單變量函數(shù)矩陣的微分與積分 考慮實(shí)變量 t 的實(shí)函數(shù)矩陣 ( )( ) ( )ij m nX t x t ×= ，所有分量函數(shù) ( )ijx t 定義域相同。 定義函數(shù)矩陣的微分與積分 0 0 ( ) ( ) , ( ) ( ) . t t ij ijt t d d X t x t X d x d dx dx τ τ τ τ ? ? ? ??? ???= =? ??? ?? ?? ? ?? ?∫ ∫ 函數(shù)矩陣的微分有以下性質(zhì)： （1） ( )( ) ( ) ( ) ( )d d dX t Y t X t Y t dt dt dt + = + ； （2） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

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采用對(duì)角矩陣解耦法提高變風(fēng)量空調(diào)的性能 采用對(duì)角矩陣解耦法提高變風(fēng)量空調(diào)的性能

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解決變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)多個(gè)回路之間的耦合問(wèn)題是暖通空調(diào)領(lǐng)域的難點(diǎn)問(wèn)題。采用機(jī)理分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析相結(jié)合的方法 ,建立了三輸入、三輸出變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ,并針對(duì)該系統(tǒng)采用對(duì)角矩陣法設(shè)計(jì)了變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)的解耦器。該解耦器可以使所研究的變風(fēng)量空調(diào)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)矩陣和閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣都變換為對(duì)角矩陣 ,從而解除各個(gè)控制回路之間的耦合 ,使變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出 ,該解耦方法的應(yīng)用效果是較好的。

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設(shè)A，B和C是任意同階方陣，則有：

(1)A~A

(2) 若A~B，則B~A

(3) 若A~B，B~C，則A~C

(4) 若A~B，則r(A)=r(B)，|A|=|B|

(5) 若A~B，且A可逆，則B也可逆，且B~A。

(6) 若A~B，則A與B有相同的特征方程，有相同的特征值。

若A與對(duì)角矩陣相似，則稱A為可對(duì)角化矩陣，若n階方陣A有n個(gè)線性

無(wú)關(guān)的特征向量，則稱A為單純矩陣。

內(nèi)容分布圖示

★ 相似矩陣與相似變換的概念

★ 相似矩陣的性質(zhì)

★ 矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件

★ 矩陣對(duì)角化的步驟

★ 矩陣可對(duì)角化的條件

★ 矩陣對(duì)角化的應(yīng)用

★ 約當(dāng)形矩陣的概念

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