汽輪機振動

葉片是根部固定的彈性桿件，當(dāng)受到一個瞬時外力的沖擊后，它將在原平衡位置附近做周期性的擺動，這種擺動稱為自由振動，振動的頻率稱為自振頻率。

當(dāng)葉片受到一周期性外力(稱為激振力)作用時，它會按外力的頻率振動，而與葉片的自振頻率無關(guān)，即為強迫振動。在強迫振動時，若葉片的自振頻率與激振力頻率相等或成整數(shù)倍，葉片將發(fā)生共振，振幅和振動應(yīng)力急劇增加，可能引起葉片的疲勞損壞。

若葉片斷裂，其碎片可能將相鄰葉片及后邊級的葉片打壞，還會使轉(zhuǎn)子失去平衡，引起機組強烈振動，造成嚴(yán)重后果。由此可知，葉片振動性能的好壞對汽輪機安全運行影響很大，因此必須對葉片振動問題進行研究。

(一)引起葉片振動的激振力

汽輪機工作時，引起葉片振動的激振力主要是由于沿圓周方向汽流不均勻而產(chǎn)生的。根據(jù)頻率高低，激振力可分為高頻激振力和低頻激振力。

1. 高頻激振力

左圖4一11靜葉柵后汽流力的分布

由于噴管出汽邊有一定的厚度及葉型上的附面層等原因，噴管出口汽流速度沿圓周分布不均勻，使得蒸汽對動葉的作用力分布不均勻。動葉每經(jīng)過一個噴管所受的汽流力就變化一次，即受到一次激振。對于全周進汽的級，該激振力的頻率為:

式中 Zn-級的噴管數(shù)

通常Zn=40~80，n=50r/s，則激振力的頻率f=2000~4000Hz，故稱為高頻激振力。

對于部分進汽的級，若部分進汽度為e、級的平均直徑為dm，則激振力的周期T和頻率f分別為

2. 低頻激振力

由于制造加工的誤差及結(jié)構(gòu)等方面的原因，級的圓周上個別地方汽流速度的大小或方向可能異常，動葉每轉(zhuǎn)到此處所受汽流力就變化一次，這樣形成的激振力頻率較低，稱為低頻激振力。

產(chǎn)生低頻激振力的主要原因有:①個別噴管加工安裝有偏差或損壞;②上下隔板結(jié)合面的噴管結(jié)合不良;③級前后有加強筋，汽流受到干擾;④部分進汽或噴管弧分段;⑤級前后有抽汽口。

若一級中有i個異常處，則低頻激振力頻率為:

(二)葉片的振型

葉片的振動有彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動兩種基本形式，

彎曲振動又分為切向振動和軸向振動。繞截面最小主慣性軸Ⅰ-Ⅰ的振動，振動方向接近葉輪圓周的切線方向，稱為切向振動;繞截面最大主慣性軸的振動，方向接近于汽輪機的軸向，稱為軸向振動;

沿葉高方向繞通過各截面形心連線的往復(fù)扭轉(zhuǎn)，稱為扭轉(zhuǎn)振動。任何一種復(fù)雜的振型都可以看作是彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動的組合。

葉片的扭轉(zhuǎn)振動和軸向振動發(fā)生在汽流作用力較小而葉片剛度較大的方向，振動應(yīng)力較小，所以不是主要問題。切向振動發(fā)生在葉片剛度最小的方向，且與汽流主要作用力方向一致，因此切向振動是最容易發(fā)生又最危險的振動。以下只討論葉片的切向振動問題。

按葉片振動時其頂部是否擺動，切向振動可分為A型振動和B型振動兩大類。

1.A型振動

葉片振動時，葉根不動、葉頂擺動的振動形式稱為A型振動。

振動時，葉型上可能有不動的點(實際是一條線)，稱為節(jié)點。

葉片組發(fā)生的A型振動，按節(jié)點的個數(shù)，也可分為A0、A1、A2等振型。

2.B型振動

葉片振動時，葉根不動、葉頂也基本不擺動的振動形式稱為B型振動。用圍帶連成組的葉片，除葉根固定外，葉頂也有支點，有可能發(fā)生B型振動。按節(jié)點的數(shù)目，B型振動也有B0、B1等型式。

葉片組發(fā)生B型振動時，組內(nèi)葉片的相位大多是對稱的，如圖4-14所示的B0型振動。

圖(a)中，對稱于葉片組中心線的葉片的振動相位相反，如果組內(nèi)葉片數(shù)為奇數(shù)，則中間的葉片不振動，這種振動叫作第一類對稱的B0型振動。

圖(b)中，對稱于葉片組中心線的葉片振動相位相同，稱為第二類對稱的B0型振動。

當(dāng)激振力頻率逐漸升高時，葉片組將依次出現(xiàn)A0、B0、A1、B1……振動，其自振頻率依次增大，振幅則減小。實踐證明，高階次的振動一般不易發(fā)生，即使發(fā)生，危險也不大。而通常出現(xiàn)的低階次振動，振幅較大，葉片內(nèi)的動應(yīng)力較大，因此A0、B0、A1型是最危險的振型，通常在葉片的安全校核中主要考慮這幾種振型。

(三)葉片的自振頻率

葉片的自振頻率葉片在靜止時的自振頻率稱為靜頻率。等截面自由葉片靜頻率的計算公式為

由上式可知，葉片的自振頻率取決于以下因素:

(1)葉片的抗彎剛度(EI)。(EI)越大，頻率越高。

(2)葉片的高度越高，頻率越低。

(3)葉片的質(zhì)量m，m越大，頻率越低。

(4)葉片頻率方程(求解葉片自由振動微分方程時，代人邊界條件后得出的與自由振動頻率有關(guān)系的方程)的根(kl)，其值與葉片的振型有關(guān)。

從上式可以看出，對于同一葉片，不同振型的靜頻率是不同的，且各階靜頻率之間有一定的比例。例如A0、A1、A2型振動的(kl)值分別為1.875、4.694、7.855，則它們的靜頻率之比為1:6.25:17.6

上述葉片靜頻率的計算公式是在一定的條件下導(dǎo)出的，而葉片工作的實際條件往往與這些條件不相符，使計算值與實際值有偏差，因此應(yīng)進行修正。

葉片工作時的自振頻率還受到以下工作條件的影響:

(1)葉根的連接剛度

在葉片頻率的理論計算中，假定葉根是剛性固定的。實際中，若葉片安裝不當(dāng)、制造不精確或工作時葉根連接處產(chǎn)生彈性變形等，都可能使葉根部夾緊力不夠，葉根會有一部分參與振動。這樣，振動葉片的質(zhì)量增加、剛性降低，因此自振頻率降低。這一影響可用葉根牢固系數(shù)Kr來修正，該值可從圖4-15查得。

(2)工作溫度

當(dāng)溫度升高時，葉片的彈性模量E降低，使自振頻率降低。其影響用溫度修正系數(shù)來修正。

考慮上述兩個因素的影響，自由葉片的自振頻率為

(3)離心力

當(dāng)葉片在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下工作，因振動而偏離平衡位置時，葉片上的離心力將偏離截面形心而形成一個附加彎矩，阻止葉片振動時的彎曲。因此，離心力的存在相當(dāng)于增加了葉片的剛度，使葉片的自振頻率提高。

葉片在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的自振頻率稱為葉片的動頻率，它與靜頻率的關(guān)系為

式中-葉片動頻率;-經(jīng)過、修正后的靜頻率;n-葉片的工作轉(zhuǎn)速;B-動頻系數(shù)。

;為離心力引起的附加頻率

動頻系數(shù)與葉片的結(jié)構(gòu)、振型等很多因素有關(guān)。

(4)葉片成組

圍帶和拉金對葉片組內(nèi)葉片的自振頻率有兩方面的影響:

(1)它們的質(zhì)量分配到各葉片上，相當(dāng)于葉片的質(zhì)量增加，使頻率降低;

(2)它們對葉片的反彎矩使葉片的抗變形能力增加，使頻率升高。

一般情況下，剛度增加使頻率增加的值大于質(zhì)量增加使頻率降低的值。所以葉片組的頻率通常比單個葉片的同階頻率高。

(四)葉片振動的安全準(zhǔn)則

葉片工作時的受力是在一個不隨時間變化的靜應(yīng)力基礎(chǔ)上疊加一個幅值為的交變動應(yīng)力。

①靜應(yīng)力為離心拉應(yīng)力、離心彎應(yīng)力和汽流彎應(yīng)力之和;

②動應(yīng)力是由汽流激振力引起的，可認(rèn)為其幅值正比于汽流彎應(yīng)力，即

其中D為應(yīng)力放大系數(shù)。

為了保證葉片的工作安全，要滿足:(1)靜強度要求，(2)動強度要求。

動強度以材料在動、靜應(yīng)力復(fù)合作用下的動強度指標(biāo)-耐振強度作為校核指標(biāo)。

耐振強度也稱復(fù)合疲勞強度，是指在一定工作溫度和一定靜應(yīng)力作用下，葉片所能承受的最大交變應(yīng)力的幅值。

當(dāng)葉片的自振頻率與激振力頻率成整數(shù)倍時，葉片發(fā)生共振，振幅增大，產(chǎn)生很大的交變應(yīng)力。在共振狀態(tài)下工作容易損壞，需要將葉片的自振頻率與激振力頻率調(diào)開，避免發(fā)生共振的葉片，稱為調(diào)頻葉片;在共振狀態(tài)下能長期安全工作，不需要調(diào)頻的葉片，稱為不調(diào)頻葉片。

1. 不調(diào)頻葉片的振動安全準(zhǔn)則

不調(diào)頻葉片在共振時的動應(yīng)力幅值必須滿足如下條件:

將式帶人上式得

式中的和可以分別通過實驗和計算確定，在實際應(yīng)用時再考慮各種因素的影響加以修正。

修正后的耐振強度與汽流彎應(yīng)力的比值稱為安全倍率，用表示。于是上式變?yōu)?/p>

式中K1-介質(zhì)腐蝕修正系數(shù);K2-表面質(zhì)量修正系數(shù);Kd-尺寸修正系數(shù);

K3-應(yīng)力集中修正系數(shù);K4-通道修正系數(shù);K5-流場不均勻修正系數(shù);

Kμ-成組影響系數(shù)。

K1、K2、Kd是考慮影響材料耐振強度的因素，K3、K4、K5、Kμ是考慮影響彎應(yīng)力的因素。

由于D、ns不能精確地確定，一般用統(tǒng)計的方法得到確保葉片運行安全的安全倍率。對大量在共振條件下運行的葉片，分別算出它們的安全倍率和振動倍率K(葉片的動頻率與激振力頻率之比)，按振型歸納后將這些數(shù)據(jù)點標(biāo)在-K圖上，安全工作的葉片和出事故的葉片分別用不同的符號表示。

由圖4-17可以看出，在安全葉片與被損壞葉片之間有一個明顯的分界線，分界線上的值為安全倍率的界限值，稱為許用安全倍率，記作[]。這樣，不調(diào)頻葉片的振動強度安全準(zhǔn)則就成為

(1)對A0型振動與低頻激振力共振的葉片，不同振動倍率下的[]值見表4-l。K=1即動頻率與激振力頻率相等的葉片不存在，不予考慮;K=2(有時為3)時，為保證安全，采用調(diào)頻葉片。B0型振動與高頻激振力共振的葉片，要求[]≥10;

(2)對與高頻激振力共振的 A0型振動，全周進汽的級[]≥45，部分進汽的級[]≥55。

表4-l不調(diào)頻葉片A0型振動的[]值

2. 調(diào)頻葉片的振動強度安全準(zhǔn)則

調(diào)頻葉片應(yīng)滿足調(diào)頻指標(biāo)，同時還應(yīng)滿足安全倍率許用值要求。由于調(diào)頻后避開了共振，動應(yīng)力大為減少，所以[]值減小了。

1)A0型振動與低頻激振力Kn共振的葉片，動頻率應(yīng)調(diào)至Kn與(Kn-1)n之間，并滿足下列要求:

式中 n1、n2-汽輪機工作轉(zhuǎn)速允許變化的上、下限;-在n1轉(zhuǎn)速下的動頻率(取同一級中最低的);-在n2轉(zhuǎn)速下的動頻率(取同一級中最高的);k-頻位，。

調(diào)頻后，這種葉片的安全倍率許用值[]見表4-2。

表4-2調(diào)頻葉片A0型振動的[]值

2)B0型振動與高頻激振力zn共振的調(diào)頻葉片，靜頻率(對高頻振動，動頻率與靜頻率近似相等，可用靜頻率代替動頻率)應(yīng)滿足如下條件:

式中 、-頻率避開率;、-全級葉片組最低、最高的B0型振動靜頻率。

這種葉片在滿足上述調(diào)頻要求后，其A0型振動往往又與低頻激振力共振，所以安全倍率許用值[]仍采用表4-1中的數(shù)值。

(五)葉片的調(diào)頻

當(dāng)調(diào)頻葉片的自振頻率不符合安全值的要求時，應(yīng)對葉片的自振頻率或激振力頻率進行調(diào)整，稱之為調(diào)頻。由于激振力的頻率難以準(zhǔn)確估計且不好改變，實用中通常是調(diào)整葉片的自振頻率。

在調(diào)頻前，首先應(yīng)檢查葉片的頻率分散率是否符合要求。

頻率分散率:一級中葉片A0型振動最高和最低自振頻率之差與它們的平均值之比的百分?jǐn)?shù)，要求<8%。當(dāng)頻率分散率過大時，應(yīng)檢查葉片的安裝質(zhì)量。當(dāng)頻率分散度合格而頻率仍不合格時，應(yīng)進行調(diào)頻。

調(diào)整葉片自振頻率的措施主要是改變?nèi)~片的質(zhì)量和剛度，包括連接剛度。常用的調(diào)頻方法有:

1)加裝圍帶、拉金或改變圍帶、拉金的尺寸。這些將使葉片的剛度和質(zhì)量都發(fā)生變化，對葉片的自振頻率產(chǎn)生兩個相反的影響，頻率的變化需根據(jù)具體條件進行計算或試驗確定。

2)重新研磨葉根之間的結(jié)合面，以增加葉根的連接剛性。對于因安裝質(zhì)量不佳而導(dǎo)致頻率不合格的葉片，這是一種提高自振頻率和減小頻率分散度的有效方法。

3)在葉片頂部鉆孔或切角，減小葉片的質(zhì)量，提高自振頻率。

4)改變?nèi)~片組內(nèi)的葉片數(shù)。當(dāng)組內(nèi)葉片數(shù)增加時，圍帶或拉金對葉片的反彎矩增加，使葉片的自振頻率提高。但是當(dāng)組內(nèi)葉片數(shù)已較多時，這種方法的效果就很小了。

5)采用松拉金或空心拉金。運行時，松拉金緊貼在葉片上，可有效地抑制葉片的A0、B0型振動，減小振幅和振動應(yīng)力。改用空心拉金，使拉金分配到葉片上的質(zhì)量減小，葉片的自振頻率提高。

6)在焊接圍帶和拉金與葉片連接處加焊，或?qū)︺T接圍帶重新捻鉚不合格的鉚釘，以增加連接的牢固程度，提高葉片的自振頻率。

(一)油膜振蕩現(xiàn)象

滑動軸承工作時，軸頸支承在油膜上高速旋轉(zhuǎn)，在一定條件下，油膜反過來激勵軸頸，使軸頸產(chǎn)生強烈振動，這種現(xiàn)象即為油膜振蕩。

下面觀察一個轉(zhuǎn)子柔性大、載荷較輕的軸承，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速從零逐漸增加時，軸頸中心的運動情況。

如圖4-63所示， A點對應(yīng)的轉(zhuǎn)速稱為失穩(wěn)轉(zhuǎn)速(取決于轉(zhuǎn)子和支持軸承的工作條件);A點至A2點間，軸頸中心發(fā)生頻率等于當(dāng)時轉(zhuǎn)速一半的小振動，稱為半速渦動;A2點以后，軸頸中心發(fā)生頻率等于轉(zhuǎn)子第一臨界轉(zhuǎn)速的大振動，稱為油膜振蕩。當(dāng)油膜振蕩發(fā)生后，在較大的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，渦動頻率將保持等于第一臨界轉(zhuǎn)速，振幅也始終保持在共振狀態(tài)下的大振幅，這種現(xiàn)象稱為油膜振蕩的慣性效應(yīng)，因此，油膜振蕩不能用提高轉(zhuǎn)速的方法來消除。

(二)產(chǎn)生油膜振蕩的原因(了解)

由軸承的工作原理可知，在一定載荷和轉(zhuǎn)速下，軸頸中心處于某一偏心位置O'而達(dá)到平衡狀態(tài)，如圖4-64所示。此時油膜對軸頸的作用力pg與軸頸上的載荷p大小相等、方向相反且作用于同一直線上，它們的合力為零。如果軸頸受到一個干擾，中心從O'移到O"，油楔隨之發(fā)生改變，產(chǎn)生的油膜作用力的大小和方向也將發(fā)生變化，pg變?yōu)閜g'。pg'與p不平衡，它們的合力不再為零，而是力F。

F可分解為沿油膜變形方向的彈性恢復(fù)力Fr和垂直于油膜變形方向的切向分力Ft。彈性恢復(fù)力推動軸頸返回平衡點O';而切向分力將推動軸頸繞O'點轉(zhuǎn)動，引起軸頸中心在軸承內(nèi)渦動，稱為失穩(wěn)分力。此時，軸頸不僅圍繞其中心高速旋轉(zhuǎn)，而且軸頸中心還圍繞平衡點0'渦動。若失穩(wěn)分力小于軸承阻尼力，則渦動是收斂的，軸頸中心受到擾動而偏移后將自動回到平衡位置，此時軸承的工作是穩(wěn)定的。若失穩(wěn)分力大于阻尼力，則渦動是發(fā)散的，軸頸中心的軌跡為螺線擴散形，屬于不穩(wěn)定工作狀態(tài)。若失穩(wěn)分力等于阻尼力，軸頸則產(chǎn)生小振幅渦動，軸頸中心的軌跡為一橢圓形封閉曲線。理論和實踐證明，此時渦動頻率接近當(dāng)時轉(zhuǎn)速的一半，稱為半速渦動。如果渦動的角速度與轉(zhuǎn)子的第一臨界轉(zhuǎn)速合拍，則渦動被共振放大，軸頸發(fā)生強烈振動，即產(chǎn)生了油膜振蕩。

(三)油膜振蕩的防止和消除

危害:發(fā)生油膜振蕩時軸頸振幅很大，會引起軸承油膜破裂、軸頸與軸瓦碰撞甚至損壞。另外，因其振動頻率剛好等于轉(zhuǎn)子的第一臨界轉(zhuǎn)速，成為轉(zhuǎn)子的共振激發(fā)力，使轉(zhuǎn)子發(fā)生共振，可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸損壞。半速渦動時振幅不大，雖然不會破壞油膜，但長期工作，會引起零件的松動和疲勞損壞。因此半速渦動和油膜振蕩都應(yīng)設(shè)法消除。

由前面的分析可知，只有當(dāng)轉(zhuǎn)速高于失穩(wěn)轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)子第一臨界轉(zhuǎn)速的兩倍時，才有可能發(fā)生油膜振蕩。因此防止和消除油膜振蕩的基本方法是提高轉(zhuǎn)子的第一臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。

剛性轉(zhuǎn)子和第一臨界轉(zhuǎn)速高于額定轉(zhuǎn)速一半的撓性轉(zhuǎn)子，在其工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，只可能發(fā)生半速渦動而不會發(fā)生油膜振蕩。但對于大功率機組，轉(zhuǎn)子第一臨界轉(zhuǎn)速較低，可能低于額定轉(zhuǎn)速的一半，此時只能從提高失穩(wěn)轉(zhuǎn)速人手，將失穩(wěn)轉(zhuǎn)速提高到額定轉(zhuǎn)速之上，即可避免發(fā)生油膜振蕩。

提高轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速也就是提高軸頸工作的穩(wěn)定性。由油膜振蕩產(chǎn)生原因分析可知，軸頸在軸承中運行不穩(wěn)定的根本原因是軸頸受到擾動后產(chǎn)生了失穩(wěn)分力。擾動越大，軸頸偏離其平衡位置的距離越大，失穩(wěn)分力也越大，越容易引起渦動，進而導(dǎo)致油膜振蕩。在同一擾動強度下，軸頸穩(wěn)定運行時的偏心距越大，其相對偏移就越小，失穩(wěn)分力也越小，越不容易產(chǎn)生半速渦動和油膜振蕩。也就是說，軸頸在軸瓦中平衡位置的偏心距越大，轉(zhuǎn)子工作越穩(wěn)定，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速也就越高。而偏心距的大小總是在相對的觀點上才有意義，因此上述結(jié)論是對軸頸在軸瓦中的相對偏心率而言的。相對偏心率即軸頸與軸瓦的絕對偏心距00'與它們的半徑差R-r的比值，以K表示。即

K越大，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速越高，越不容易產(chǎn)生半速渦動和油膜振蕩，通常認(rèn)為K大于0.8時，軸頸在任何情況下都不會發(fā)生油膜振蕩。反之，K越小，轉(zhuǎn)軸工作越不穩(wěn)定，越容易產(chǎn)生半速渦動和油膜振蕩。

因此，降低軸心位置以增大軸頸相對偏心率，可以防止和消除油膜振蕩。主要措施如下:

1. 增加軸承比壓

軸承載荷與軸瓦垂直投影面積(軸承長度×直徑)之比稱為比壓。比壓越大，軸頸越不容易浮起，相對偏心率越大，軸承穩(wěn)定性越好。

增大比壓的常用方法有:縮短軸瓦長度，以減小軸瓦的投影面積及增加軸瓦端的泄油量;調(diào)整軸瓦中心，以增加負(fù)荷過小軸承的載荷。

2. 降低潤滑油黏度

潤滑油黏度越大，軸頸旋轉(zhuǎn)時帶人油楔油量就越多，油膜越厚，軸頸在軸瓦中浮得越高，相對偏心率越小，軸頸就越容易失去穩(wěn)定而產(chǎn)生油膜振蕩。因此降低潤滑油黏度有利于軸承的穩(wěn)定工作。其方法是提高油溫或更換黏度較小的潤滑油。

3. 調(diào)整軸承間隙

一般認(rèn)為，減小圓筒形或橢圓形軸承軸瓦頂部間隙，可以產(chǎn)生或加大向下的油膜作用力，使軸頸的位置降低，增大了相對偏心率，使軸頸在軸承中的穩(wěn)定性提高。同時加大軸瓦兩側(cè)間隙(相當(dāng)于增大橢圓度，即增大了相對偏心率)效果更為顯著。

此外，要防止油膜振蕩，設(shè)計制造上應(yīng)盡量提高轉(zhuǎn)子的第一臨界轉(zhuǎn)速，選擇穩(wěn)定性好的軸承結(jié)構(gòu)型式與參數(shù)。還應(yīng)盡量做好轉(zhuǎn)子的動、靜平衡，減小其不平衡質(zhì)量，以降低轉(zhuǎn)子在第一臨界轉(zhuǎn)速下的共振放大能力，減小油膜振蕩時的振幅。

汽輪機振動

第一章 汽輪機振動

由于制造、裝配的誤差，以及材質(zhì)不均勻，轉(zhuǎn)子上存在質(zhì)量偏心。當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，質(zhì)量偏心引起的離心力作用在轉(zhuǎn)子上，相當(dāng)于一個頻率等于轉(zhuǎn)速的周期性激振力，迫使轉(zhuǎn)子振動。當(dāng)激振力頻率等于轉(zhuǎn)子橫向自振頻率時，便發(fā)生共振，振幅急劇增大，此時的轉(zhuǎn)速就是轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。

(一)等直徑均布質(zhì)量轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速.

汽輪機轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)和形狀比較復(fù)雜，臨界轉(zhuǎn)速的計算也較復(fù)雜。為簡便起見，下面先討論無輪盤等直徑均布質(zhì)量轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。

根據(jù)彈性梁的振動原理，可以導(dǎo)出等直徑均布質(zhì)量轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速n，為

式中 i-正整數(shù)，i=1、2、3、…;l、A-轉(zhuǎn)子的跨度、橫截面積;E、ρ-轉(zhuǎn)子材料的彈性模數(shù)和密度;I-轉(zhuǎn)子橫截面的形心主慣性矩。

由上式可見，等直徑均布質(zhì)量轉(zhuǎn)子有無窮多個臨界轉(zhuǎn)速。i=l、2、3、…時的臨界轉(zhuǎn)速 nc1、nc2、nc3、…分別稱為一階、二階、三階、…臨界轉(zhuǎn)速。

上式表明，轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速值與其抗彎剛度EI、質(zhì)量ρA及跨度l有關(guān)。剛度大、質(zhì)量輕、跨度小的轉(zhuǎn)子，臨界轉(zhuǎn)速高;反之，臨界轉(zhuǎn)速低。

(二)汽輪機轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速

等直徑均布質(zhì)量轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的結(jié)論同樣適用于汽輪機轉(zhuǎn)子。

汽輪機中，每一根轉(zhuǎn)子兩端都有軸承支承，稱為單跨轉(zhuǎn)子。汽輪機各單跨轉(zhuǎn)子及發(fā)電機轉(zhuǎn)子之間用聯(lián)軸器連接起來，就構(gòu)成了一個多支點的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，稱為軸系。軸系的臨界轉(zhuǎn)速由各單跨轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速匯集而成，但又不是它們的簡單集合。用聯(lián)軸器連接起來后，各轉(zhuǎn)子的剛度增大，因此軸系的臨界轉(zhuǎn)速比單跨轉(zhuǎn)子相應(yīng)階次的臨界轉(zhuǎn)速高，且聯(lián)軸器剛性越好，臨界轉(zhuǎn)速提高得越多。

轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的大小還受到工作溫度和支承剛度等因素的影響。工作溫度升高時，轉(zhuǎn)子剛度降低，使臨界轉(zhuǎn)速降低。轉(zhuǎn)子支承在由油膜、軸承、軸承座、臺板和基礎(chǔ)等組成的支承系統(tǒng)上，支承剛度降低，將使轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速降低。

(三)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的校核標(biāo)準(zhǔn)

為保證機組的安全運行，汽輪機的工作轉(zhuǎn)速應(yīng)當(dāng)避開鄰近的臨界轉(zhuǎn)速，并有一定裕度。

一階臨界轉(zhuǎn)速高于正常工作轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子稱為剛性轉(zhuǎn)子，反之稱為撓性(或柔性)轉(zhuǎn)子。

①對于剛性轉(zhuǎn)子，通常要求其一階臨界轉(zhuǎn)速nc1比工作轉(zhuǎn)速n0高20%~25%，即nc1>(1.2~1.25)n0，但不允許在2n0附近。

②對于撓性轉(zhuǎn)子，其工作轉(zhuǎn)速在臨界轉(zhuǎn)速ncn、nc(n+1)之間，要求1.4ncn<n0<0.7nc(n+1)。