切線剛度矩陣

單元?jiǎng)偠染仃嚻娈?/p>

如a=[

1 0 0 2/3 -1 -2/3

0 1/3 2/3 0 -2/3 -1/3

0 2/3 4/3 0 -4/3 -2/3

2/3 0 0 4 -2/3 -4

-1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3

-2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3

];

inv(a)

Warning: Matrix is singular to working precision.

ans =

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

>> det(a)

ans =

0

單元?jiǎng)偠染仃囈欢ㄊ瞧娈惖?，這一點(diǎn)一般的有限元書上都有證明，給定某個(gè)位移為1，其它位移為0，代入F=KΔ，再由力的平衡關(guān)系，可推出矩陣(方陣)的該列元素的和為0，依次定義不同的非0位移，可得知其它列有同樣性質(zhì)，因此方陣的行列式為0，由此可知該方陣是奇異的。一般k為稀疏帶狀矩陣。

應(yīng)該說結(jié)構(gòu)剛度矩陣在沒有引入邊界條件之前是奇異的，因?yàn)槿绻麤]有引入邊界條件的話，對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)來說存在著剛體位移，也就是說ku=f這個(gè)方程存在著非零解，引入邊界條件的話就是約束結(jié)構(gòu)的整體剛體位移，使得剛度矩陣從奇異轉(zhuǎn)化為非奇異。

由對(duì)稱性和奇異性的單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝成的結(jié)構(gòu)剛度矩陣也具有對(duì)稱性和奇異性。然而引入約束條件后，整體剛度矩陣則滿秩。如未引入約束條件的整體矩陣

>> b=[

7/3 4/3 -4/3 -2/3 -1 -2/3 0 0

4/3 13/3 -2/3 -4 -2/3 -1/3 0 0

-4/3 -2/3 7/3 0 0 4/3 -1 -2/3

-2/3 -4 0 13/3 4/3 0 -2/3 -1/3

-1 -2/3 0 4/3 7/3 0 -4/3 -2/3

-2/3 -1/3 4/3 0 0 13/3 -2/3 -4

0 0 -1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3

0 0 -2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3

];

>> det(b)

ans =

2.4580e-044

>> inv(b)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 9.759739e-018.

ans =

1.0e+015 *

0.7097 0.1673 1.3630 0.1673 0.7097 -1.1391 1.3630 -1.1391

0.4155 -0.9251 -0.1300 -0.9251 0.4155 0.1659 -0.1300 0.1659

1.7434 -0.4698 1.4422 -0.4698 1.7434 0.1325 1.4422 0.1325

0.4155 -0.9251 -0.1300 -0.9251 0.4155 0.1659 -0.1300 0.1659

0.7097 0.1673 1.3630 0.1673 0.7097 -1.1391 1.3630 -1.1391

-1.6517 0.3492 -0.2885 0.3492 -1.6517 -2.3773 -0.2885 -2.3773

1.7434 -0.4698 1.4422 -0.4698 1.7434 0.1325 1.4422 0.1325

-1.6517 0.3492 -0.2885 0.3492 -1.6517 -2.3773 -0.2885 -2.3773

對(duì)于有限元軟件的應(yīng)用，大家經(jīng)常會(huì)碰到一個(gè)十分頭痛的問題，軟件提示總體剛度矩陣出現(xiàn)小的主元和負(fù)元，也即總體剛度矩的出現(xiàn)奇異，出現(xiàn)奇異的原因多種多樣，可能的原因有:

在共享一個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元中材料屬性如彈性模量為零;

一個(gè)或多個(gè)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)沒有連接到任何單元上;

結(jié)構(gòu)式的一個(gè)或多個(gè)部分沒有與其它部分相接;

邊界條件沒有設(shè)定或不夠充分;

不適當(dāng)?shù)倪B接可能產(chǎn)生寄生模式;

在一個(gè)連接點(diǎn)設(shè)置了太多的分離;

有很大的剛度奇異;

部分結(jié)構(gòu)發(fā)生屈服;

在非線性分析中，支撐或者連接已達(dá)到零剛度，以至于部分或所有結(jié)構(gòu)不能被充分支撐。