線彈性問(wèn)題的自適應(yīng)混合有限元方法

混合有限元方法可同時(shí)求解位移和應(yīng)力，是數(shù)值求解線彈性問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)有限元方法，混合有限元方法由于在計(jì)算中涉及到更多的未知量而使計(jì)算規(guī)模增大，因此如何構(gòu)造混合元離散問(wèn)題可靠且有效的后驗(yàn)誤差估計(jì)子，優(yōu)化網(wǎng)格加密策略，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的高效自適應(yīng)計(jì)算具有重要的應(yīng)用價(jià)值。 本項(xiàng)目主要研究了線彈性問(wèn)題的對(duì)稱型混合有限元方法及其離散問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)。首先我們構(gòu)造了求解線彈性問(wèn)題的一族對(duì)稱型非協(xié)調(diào)混合有限元，這族元的應(yīng)力和位移有限元空間具有很好的匹配性，在形式上關(guān)于空間維數(shù)具有一致性，可以推廣到任意維問(wèn)題。我們證明了混合元離散問(wèn)題解的存在唯一性并給出了最優(yōu)的先驗(yàn)誤差估計(jì)。對(duì)二維、三維問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，從數(shù)值上驗(yàn)證了所構(gòu)造混合元的最優(yōu)收斂性和超收斂性,并且從理論上證明了這族元的超收斂性。其次我們研究了二維和三維線彈性問(wèn)題對(duì)稱型協(xié)調(diào)混合元方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)。利用應(yīng)力誤差的Helmholtz正交分解，構(gòu)造了自適應(yīng)求解離散問(wèn)題的殘量型后驗(yàn)誤差估計(jì)子，證明了估計(jì)子的可靠性和有效性。通過(guò)對(duì)不同邊值問(wèn)題的自適應(yīng)數(shù)值計(jì)算，驗(yàn)證了所構(gòu)造后驗(yàn)誤差估計(jì)子的可靠性和有效性，數(shù)值計(jì)算表明我們所構(gòu)造的自適應(yīng)算法具有最優(yōu)的收斂性。最后我們研究了對(duì)稱型非協(xié)調(diào)混合元離散問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)。本項(xiàng)目現(xiàn)已發(fā)表SCI檢索論文2篇。 需要特別指出的是我們最近幾年所得到的關(guān)于線彈性問(wèn)題對(duì)稱型混合有限元方法的研究成果，得到了工程界研究人員的關(guān)注，被用于求解一些工程問(wèn)題并取得了比較好的計(jì)算效果，接下來(lái)我們將深入研究對(duì)稱型混合元方法在實(shí)際工程計(jì)算中的應(yīng)用。 2100433B

以后驗(yàn)誤差估計(jì)和自適應(yīng)網(wǎng)格改進(jìn)技術(shù)為核心的自適應(yīng)方法已被廣泛用于有限元離散問(wèn)題的數(shù)值求解中，并表現(xiàn)出色；可同時(shí)逼近位移與應(yīng)力的混合有限元方法是數(shù)值求解線彈性問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。本項(xiàng)目主要研究線彈性問(wèn)題的自適應(yīng)對(duì)稱型混合有限元方法。我們首先研究三維線彈性問(wèn)題對(duì)稱型協(xié)調(diào)有限元方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)。利用三維彈性序列給出應(yīng)力的Helmholtz分解，據(jù)此構(gòu)造殘量型的后驗(yàn)誤差估計(jì)子并證明其可靠性；利用對(duì)稱型混合元和四階問(wèn)題有限元之間的關(guān)系，構(gòu)造性地證明估計(jì)子的有效性。其次研究線彈性問(wèn)題對(duì)稱型非協(xié)調(diào)混合元方法的殘量型后驗(yàn)誤差估計(jì)。應(yīng)用Helmholtz分解把應(yīng)力誤差分解為協(xié)調(diào)誤差和非協(xié)調(diào)誤差兩部分，然后分別估計(jì)得到誤差估計(jì)子的可靠性。最后利用所構(gòu)造的后驗(yàn)誤差估計(jì)子設(shè)計(jì)求解線彈性問(wèn)題的對(duì)稱型混合元自適應(yīng)算法，研究擬正交性、離散Helmholtz分解、離散上界等重要性質(zhì)，證明算法的收斂性和最優(yōu)性。

該項(xiàng)目對(duì)橢圓界面問(wèn)題、平面線彈性界面問(wèn)題、Stokes界面問(wèn)題、四階方程界面問(wèn)題等，深入研究了浸入界面有限元方法。對(duì)于分片不連續(xù)系數(shù)帶非齊次跳躍條件的橢圓界面問(wèn)題，我們利用奇異去除技巧去處理非齊次跳躍條件，提出了一種快速的增廣浸入界面有限元方法；對(duì)于橢圓界面問(wèn)題的浸入界面有限元方法，我們提出了一種對(duì)稱相容的浸入界面有限元方法；對(duì)于具有分片常系數(shù)的橢圓界面問(wèn)題，我們通過(guò)引入一個(gè)新的增廣變量，提出了一種新的無(wú)需利用奇異值分解插值的增廣浸入界面有限元方法；對(duì)具有分片變系數(shù)的橢圓界面問(wèn)題，通過(guò)引入法向?qū)?shù)作為增廣變量，我們提出了一種新的增廣方法。對(duì)于兩項(xiàng)流的Stokes界面問(wèn)題，我們基于Nitsche方法和鬼罰方法，對(duì)最低階的P1/P1元提出了一種新的非匹配穩(wěn)定化有限元方法；對(duì)于Stokes方程模擬的流體流和達(dá)西定律建模的多孔介質(zhì)流之間的流體結(jié)構(gòu)耦合問(wèn)題，我們提出了一種基于笛卡爾網(wǎng)格的新的有限差分方法。對(duì)平面彈性界面問(wèn)題，我們用P1協(xié)調(diào)元逼近位移的第一個(gè)分量，用P1非協(xié)調(diào)元逼近位移的第二個(gè)分量，提出了一種新的非協(xié)調(diào)浸入界面有限元方法；為了克服用協(xié)調(diào)元構(gòu)造擴(kuò)展有限元空間的非協(xié)調(diào)性，對(duì)橢圓界面題，我們提出了一種網(wǎng)格與界面非匹配的協(xié)調(diào)增擴(kuò)有限元方法，我們利用P1協(xié)調(diào)元空間逼近解的光滑部分，利用IFEM的技巧在界面附近構(gòu)造一種特殊的局部有限元空間逼近解的法向?qū)?shù)跳量，我們的協(xié)調(diào)元空間逼近不依賴于跳躍條件，也不要求系數(shù)是分片常數(shù)。對(duì)具有不連續(xù)系數(shù)的四階偏微分方程界面問(wèn)題，通過(guò)引入中間邊界條件作為增廣變量，我們將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在界面帶源項(xiàng)跳躍的Poisson方程，提出了一種增廣的快速差分方法。對(duì)帶接觸阻抗復(fù)合材料熱傳導(dǎo)問(wèn)題，通過(guò)添加鬼罰項(xiàng)，提出了一種非匹配有限元方法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明以上所提方法是有效的。此外，我們還提出了其他一些問(wèn)題的數(shù)值方法，詳細(xì)結(jié)果參見(jiàn)正文。 2100433B

本課題研究若干具有重要應(yīng)用背景的偏微分方程最優(yōu)控制問(wèn)題的有限元方法，重點(diǎn)研究對(duì)流占優(yōu)方程最優(yōu)控制、流體控制、控制或觀測(cè)發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制、多尺度最優(yōu)控制及非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，研究這些最優(yōu)控制問(wèn)題數(shù)值方法的先驗(yàn)及后驗(yàn)誤差估計(jì)、自適應(yīng)有限元計(jì)算及應(yīng)用等。我們主要完成了下述幾方面的工作：(1)以數(shù)值天氣預(yù)報(bào)為背景，研究對(duì)流占優(yōu)最優(yōu)控制及流體系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算，在對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題的不連續(xù)Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最優(yōu)控制問(wèn)題的后驗(yàn)誤差估計(jì)和高效自適應(yīng)有限元算法以及Stokes方程特征值問(wèn)題等方面取得了有意義的進(jìn)展。(2)以地質(zhì)災(zāi)害預(yù)測(cè)的數(shù)值計(jì)算為背景，研究相關(guān)最優(yōu)控制問(wèn)題。我們研究了控制或觀測(cè)發(fā)生在低維流型上的最優(yōu)控制問(wèn)題及數(shù)值計(jì)算，系統(tǒng)分析了此類問(wèn)題的正則性，得到了最優(yōu)誤差估計(jì)。我們還研究了橢圓方程邊界觀測(cè)和點(diǎn)態(tài)觀測(cè)的參數(shù)反演問(wèn)題、反柯西問(wèn)題及非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，針對(duì)問(wèn)題的特殊性，構(gòu)造了有限元、混合元、及帶有奇異解的混合格式，分析了解的正則性及先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了高效自適應(yīng)有限元算法。(3)以復(fù)合材料最優(yōu)設(shè)計(jì)為背景，研究最優(yōu)控制問(wèn)題的多尺度計(jì)算。我們研究了控制受限的小周期振動(dòng)系數(shù)橢圓方程最優(yōu)控制問(wèn)題的多尺度漸近分析和有限元計(jì)算，首次得到最優(yōu)誤差估計(jì)。在此基礎(chǔ)上我們進(jìn)一步研究了復(fù)合材料設(shè)計(jì)的多尺度有限元計(jì)算，設(shè)計(jì)了新的算法，進(jìn)行了誤差分析，并得到了合理的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果。此外，我們還研究了小周期振動(dòng)系數(shù)的橢圓方程最優(yōu)控制問(wèn)題的多尺度混合元計(jì)算，得到了最優(yōu)誤差估計(jì)。(4)針對(duì)各類最優(yōu)控制問(wèn)題的實(shí)際需要，我們繼續(xù)研究最優(yōu)控制問(wèn)題及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收斂分析等，在最優(yōu)控制多水平校正有限元方法方面取得突破，為進(jìn)一步研究打下了良好基礎(chǔ)。在上述研究基礎(chǔ)上，我們出版專著一本，發(fā)表學(xué)術(shù)論文16篇，SCI收錄13篇，其中4篇論文發(fā)表在SIAM Numer. Anal. 等本學(xué)科國(guó)際頂尖雜志上。有關(guān)工作得到國(guó)內(nèi)外同行關(guān)注，被多篇論文引用并引起相關(guān)后續(xù)研究工作。 2100433B

彈性問(wèn)題可能是線性的，也可能不是線性的，因?yàn)橛袆?shì)的向量場(chǎng)也包括非線性場(chǎng)。通常在力學(xué)上把彈性問(wèn)題分為兩類，一類叫做線性彈性問(wèn)題，一類叫做非線性彈性問(wèn)題，就是這個(gè)原因。

1、彈性包括線彈性和非線性彈性，彈性簡(jiǎn)單說(shuō)指卸載后變形按原路徑返回，沒(méi)有殘余變形，線彈性是應(yīng)力與應(yīng)變是直線關(guān)系，非線性彈性應(yīng)力與應(yīng)變是曲線。

2、在材料力學(xué)中，有比例極限與彈性極限兩個(gè)概念，比例極限是符合虎克定律的最高限，彈性極限是沒(méi)有塑性變形的最高限，那么在比例極限到彈性極限這一區(qū)段內(nèi)，應(yīng)力、應(yīng)變是什么關(guān)系？怎么理解？是否可以理解為在比例極限到彈性極限區(qū)段內(nèi)，雖然仍是彈性變形，但E值已非常量。續(xù)：彈性極限范圍內(nèi)：構(gòu)件發(fā)生彈性變形，即撤除外力構(gòu)件沒(méi)有塑性變形；比例極限范圍內(nèi)：構(gòu)件出了滿足上面的條件，其應(yīng)力－應(yīng)變還成線性關(guān)系。即：比例極限就是線性彈性極。