線性常微分方程

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，然后用待定系數(shù)法或常數(shù)變易法求出非齊次方程本身的一個(gè)特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解 。

線性常微分方程待定系數(shù)法

考慮以下的微分方程：

對(duì)應(yīng)的齊次方程是：

它的通解是：

由于非齊次的部分是

把這個(gè)函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)代入微分方程中，我們可以解出A：

因此，原微分方程的解是 ：

線性常微分方程常數(shù)變易法

假設(shè)有以下的微分方程：

我們首先求出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解

兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得：

我們把函數(shù)u₁、u₂加上一條限制：

于是，代入上式，可得：

兩邊再求導(dǎo)數(shù)，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y₁和y₂都是齊次方程的通解，因此

將(2)和(5)聯(lián)立起來(lái)，組成了一個(gè)

這個(gè)方法也可以用來(lái)解高于二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

其中，W表示朗斯基行列式。

一階線性微分方程的多種解法及其教學(xué)問(wèn)題：

對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為 ：

嚴(yán)格的講，實(shí)際物理原件和系統(tǒng)都是非線性的。

疊加原理不適應(yīng)于非線性系統(tǒng)，這給求解非線性系統(tǒng)帶來(lái)了不便，因此需要對(duì)所研究的系統(tǒng)做線性化處理。

常數(shù)項(xiàng)全為0的n元線性方程組

稱為n元齊次線性方程組。設(shè)其系數(shù)矩陣為A，未知項(xiàng)為X，則其矩陣形式為AX=0。若設(shè)其系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換所化到的行階梯形矩陣的非零行行數(shù)為r，則它的方程組的解只有以下兩種類型：

1. 當(dāng)r=n時(shí)，原方程組僅有零解；

2. 當(dāng)r

齊次線性方程組證明

對(duì)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為階梯型矩陣后，不全為零的行數(shù)r（即矩陣的秩）小于等于m（矩陣的行數(shù)），若m r,則其對(duì)應(yīng)的階梯型n-r個(gè)自由變?cè)?，這個(gè)n-r個(gè)自由變?cè)扇∪我馊≈?，從而原方程組有非零解（無(wú)窮多個(gè)解）。

齊次線性方程組示例

對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換：

令X ₄=t，其中t為任意實(shí)數(shù)，原齊次線性方程組的解為

齊次線性方程組判定定理

定理1

齊次線性方程組