邊界條件

邊值問題中的邊界條件的形式多種多樣，在端點處大體上可以寫成這樣的形式，Ay By'=C，若B=0，A≠0,則稱為第一類邊界條件或狄里克萊(Dirichlet)條件；B≠0,A=0，稱為第二類邊界條件或諾依曼(Neumann)條件；A≠0,B≠0，則稱為第三類邊界條件或洛平(Robin)條件。

總體來說，

第一類邊界條件：

給出未知函數(shù)在邊界上的數(shù)值；

第二類邊界條件：

給出未知函數(shù)在邊界外法線的方向?qū)?shù)；

第三類邊界條件：

給出未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值和外法線的方向?qū)?shù)的線性組合。

對應(yīng)于comsol，只有兩種邊界條件：

Dirichlet boundary（第一類邊界條件）—在端點，待求變量的值被指定。

Neumann boundary（第二類邊界條件）—待求變量邊界外法線的方向?qū)?shù)被指定。

再補充點初始條件：

初始條件，是指過程發(fā)生的初始狀態(tài)，也就是未知函數(shù)及其對時間的各階偏導(dǎo)數(shù)在初始時刻t=0的值．在有限元中，好多初始條件要預(yù)先給定的。不同的場方程對應(yīng)不同的初始條件。

總之，為了確定泛定方程的解，就必須提供足夠的初始條件和邊界條件！

諾伊曼邊界條件

在數(shù)學(xué)中，諾伊曼邊界條件（Neumann boundary condition) 也被稱為常微分方程或偏微分方程的“第二類邊界條件”。諾伊曼邊界條件指定了微分方程的解在邊界處的微分。

在常微分方程情況下，如

在區(qū)間[0,1]，諾伊曼邊界條件有如下形式：

y'(0) = α1y'(1) = α2其中α1和α2是給定的數(shù)值。

一個區(qū)域上的偏微分方程，如

Δyy= 0(Δ表示拉普拉斯算子，諾伊曼邊界條件有如下的形式

這里，ν表示邊界處(向外的)法向；f是給定的函數(shù)。法向定義為

其中?是梯度，圓點表示內(nèi)積。

如果方程要求未知量y(x)及其導(dǎo)數(shù)y′(x)在自變量的同一點x=x₀取給定的值，即y(x₀ )=y₀，y′(x₀)= y₀′，則這種條件就稱為初始條件，由方程和初始條件構(gòu)成的問題就稱為初值問題；

而在許多實際問題中，往往要求微分方程的解在某個給定區(qū)間a ≤ x ≤b的端點滿足一定的條件，如y(a) = A , y(b) = B，則給出的在端點(邊界點)的值的條件，稱為邊界條件，微分方程和邊界條件構(gòu)成數(shù)學(xué)模型就稱為邊值問題。

應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力邊界條件

應(yīng)力邊界條件即彈性體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的條件，是物體內(nèi)部的各點的應(yīng)力分量應(yīng)滿足平衡方程式，物體邊界上各點也必須是平衡的。

由后者將導(dǎo)出應(yīng)力邊界條件。換言之，所謂應(yīng)力邊界條件就是在給定面力的邊界上應(yīng)力分量與面力分量之間的關(guān)系。

應(yīng)力狀態(tài)混合邊界條件

混合邊界條件有兩種情況，一種情況是在物體的整個邊界s上，一部分為已知應(yīng)力，即給定應(yīng)力的邊界s ；另一種情況是在同一部分邊界上已知部分位移和部分應(yīng)力，即給定位移與應(yīng)力混合邊界條件。

對不同的邊界情況，邊界條件有所不同：

①固定邊沿邊緣各點的撓度和斜度均為零。在直角坐標系中，若x=a為固定邊，則

②簡支邊（注：此處空格）沿簡支邊各點的撓度和彎矩M均為零。若x=a為簡支邊，則

③自由邊（注：此處空格）沿自由邊各點的彎矩和剪力V為零。若x=a為自由邊，則

④自由角點（注：此處空格）若x=a，y=b是一個自由角點，則角點的反力R為零，即