盈虧問題基本介紹

盈虧問題指一定人數(shù)平均分一定數(shù)量的物品，每人分得少則有余，每人分得多則不足的應(yīng)用題.其計(jì)算公式為：

(盈 虧)÷每人兩次所得差=人數(shù)；

兩盈相減÷每人兩次所得差=人數(shù)；

兩虧相減÷每人兩次所得差=人數(shù)；

每人所得數(shù)×人數(shù) 盈=物數(shù)；

每人所得數(shù)×人數(shù)－虧=物數(shù)。

盈虧問題最早見于中國的《九章算術(shù)》，后來傳到亞細(xì)亞和歐洲，在歐洲代數(shù)學(xué)沒有發(fā)達(dá)以前，曾廣泛使用此法達(dá)幾百年之久，直到1675年，意大利的數(shù)學(xué)書中還稱這方法為la regola del cataino(意為中國算法)。《九章算術(shù)》稱盈虧問題為原術(shù)，書中原文為：“今有(人)共買物，人出八，盈三;人出七，不足四；問人數(shù)物價(jià)各幾何?！边@段文字譯為今文是：幾人共同出錢買東西，每人出8元?jiǎng)t多3元，若每人出7元?jiǎng)t少4元，求人數(shù)和物價(jià) 。

盈是多余的意思，虧是不足的意思。平時(shí)在分物品時(shí)或者安排其他工作時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到多余或是不足的情況，可以根據(jù)多余以及不足的數(shù)量引出解題的線索。這類應(yīng)用題通常叫做盈虧問題。

例1 一個(gè)植樹小組去栽樹，如果每人栽4棵，還剩下13棵樹苗;如果每人栽6棵，就缺少15棵樹苗。求這個(gè)小組有多少人"sup--normal" data-sup="3" data-ctrmap=":3,"> [3] "para" label-module="para">

解：已知每人栽4棵，還剩下13棵樹苗沒有栽上;如果每人栽6棵;就缺少15棵樹苗。一個(gè)是余下了，一個(gè)是不足，相差多少棵呢"para" label-module="para">

總之，由于每人多栽2棵樹，一共可以多栽28棵樹，這樣，小組的人數(shù)可以求得。隨之，樹苗的棵數(shù)也可以求出。

(1)這個(gè)小組有多少人"para" label-module="para">

(13 15)÷(6-4)=28÷2=14(人)

(2)共有樹苗多少棵"para" label-module="para">

4×14 13=56 13=69(棵)

或 6×14-15=84-15=69 (棵)

答：這個(gè)小組有14人，共有樹苗69棵。

例2 分鉛筆給兒童，如果每人分3支，則鉛筆余下57支;如果每人分5支，鉛筆還多余3支。求兒童多少人"sup--normal" data-sup="3" data-ctrmap=":3,"> [3] "para" label-module="para">

解：兩種分配方法都有多余?？梢愿鶕?jù)所余支數(shù)的不同，找出兩種分配方法共相差多少支鉛筆。再根據(jù)每個(gè)人所得鉛筆支數(shù)的差，即可求得兒童的人數(shù)。隨之，鉛筆的支數(shù)也可以求得。

(1)兒童人數(shù)：

(57-3)÷(5-3)=54÷2=27(人)

(2)鉛筆支數(shù)：

3×27 57=81 57=138(支)

或 5×27 3=135 3=138 (支)

答：兒童27人，鉛筆138支。

例3 學(xué)校在分配學(xué)生住宿時(shí)，原計(jì)劃每間房里住4人，還有1間空房;后來又計(jì)劃每間房里住5人，就能有3間空房。求學(xué)生宿舍多少間"sup--normal" data-sup="3" data-ctrmap=":3,"> [3] "para" label-module="para">

解：從住宿的學(xué)生人數(shù)來分析，第一次分配住宿的辦法，說明學(xué)生還沒有住滿宿舍，有1間空房，也可以說還缺少4名學(xué)生;第二次分配住宿的辦法，有3間空房，也可以說還缺少15名學(xué)生。兩種分配方案，都住不滿。根據(jù)所虧人數(shù)的不同，找出相差數(shù)，再根據(jù)每間房分配人數(shù)的差數(shù)，即可求出學(xué)生宿舍的間數(shù)。隨之，住宿的學(xué)生人數(shù)也可以求得。

(1)學(xué)生宿舍間數(shù)：

(5×3-4×1)÷(5-4)=(15-4)÷1=11(間)

(2)住宿的學(xué)生人數(shù)：

4×(11-1) =40(人)

或 　5×(11-3)=40 (人)

答：學(xué)生宿舍11間，住宿的學(xué)生40人。2100433B