有限元誤差模型

1、位移函數(shù)選取；

2、單元應(yīng)變場(chǎng)的表達(dá)；

3、單元應(yīng)力場(chǎng)的表達(dá)；

4、單元?jiǎng)偠染仃嚕?

5、整體剛度矩陣。

計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃卧奢d向量，由此形成總體的剛度矩陣和整體的荷載向量，整體剛度矩陣是由各個(gè)單元矩陣按照各自的貢獻(xiàn)組裝起來(lái)的，根據(jù)局部編碼和整體編碼之間的關(guān)系，確定各單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦僬w剛度矩陣中的位置。

有限元分析軟件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四個(gè)比較知名比較大的公司，其中ADINA、ABAQUS在非線性分析方面有較強(qiáng)的能力目前是業(yè)內(nèi)最認(rèn)可的兩款有限元分析軟件，ANSYS、MSC進(jìn)入中國(guó)比較早所以在國(guó)內(nèi)知名度高應(yīng)用廣泛。目前在多物理場(chǎng)耦合方面幾大公司都可以做到結(jié)構(gòu)、流體、熱的耦合分析，但是除ADINA以外其它三個(gè)必須與別的軟件搭配進(jìn)行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的軟件只有ADINA。

單元分析過(guò)程中包括：位移函數(shù)的選取，單元?jiǎng)偠染仃嚨慕?，整體剛度矩陣的集成過(guò)程，等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算，邊界條件的處理。

有限元法的基礎(chǔ)是將連續(xù)體離散為簡(jiǎn)單形狀單元體的集合，有限元法中，單元與單元之間的設(shè)置的相互連接點(diǎn)，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。單元，結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)連接構(gòu)成的集合稱(chēng)為有限元模型。

有限元的基本思路：將連續(xù)體離散為有限單元的幾何后，以節(jié)點(diǎn)的位移作為未知量。以離散的位移場(chǎng)代替連續(xù)的位移場(chǎng)。彈性體內(nèi)實(shí)際的位移分布，可以用單元內(nèi)位移分布函數(shù)（單元位置函數(shù)=單元位移模式）近似描述。

機(jī)床誤差模型分析協(xié)調(diào)性要求

如果出現(xiàn)在泛函中的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有m-1連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上應(yīng)有函數(shù)直至m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

機(jī)床誤差模型分析完備性要求

如果出現(xiàn)在泛函中場(chǎng)函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的試探函數(shù)至少是m次完全多項(xiàng)式。或者說(shuō)試探函數(shù)中必須包括本身和直至m階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項(xiàng)。

理論誤差模型誤差

在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中，要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，往往要忽略一些次要因素的影響，對(duì)問(wèn)題作一些簡(jiǎn)化。因此數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問(wèn)題有一定的誤差，這種誤差稱(chēng)為模型誤差。

理論誤差截?cái)嗾`差

由于實(shí)際運(yùn)算只能完成有限項(xiàng)或有限步運(yùn)算，因此要將有些需用極限或無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行的運(yùn)算有限化，對(duì)無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行截?cái)?，這樣產(chǎn)生的誤差成為截?cái)嗾`差。

理論誤差舍入誤差

在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，由于計(jì)算工具的限制，我們往往對(duì)一些數(shù)進(jìn)行四舍五入，只保留前幾位數(shù)作為該數(shù)的近似值，這種由舍入產(chǎn)生的誤差成為舍入誤差。

理論誤差抽樣誤差

抽樣誤差：是指樣本指標(biāo)和總體指標(biāo)之間數(shù)量上的差別，例如抽樣平均數(shù)與總體平均數(shù)之差 、抽樣成數(shù)與總體成數(shù)之差等。抽樣調(diào)查中的誤差有兩個(gè)來(lái)源，分別為：

（1）登記性誤差，即在調(diào)查過(guò)程中，由于主客觀原因而引起的誤差。

（2）代表性誤差，即樣本各單位的結(jié)構(gòu)情況不足以代表總體特征而引起的誤差。

在實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)值模擬或建模中，隨著模型參數(shù)的變化，誤差分析與模型輸出的變化有關(guān)。

例如，在作為兩個(gè)變量

在數(shù)值分析中，誤差分析包括前向誤差分析和后向誤差分析。

誤差分析前向誤差分析

前向誤差分析涉及函數(shù)

誤差分析后向誤差分析

后向誤差分析涉及近似函數(shù)

后向誤差分析，其理論由詹姆斯·威爾金森（James H. Wilkinson）提出和推廣，可用于確定實(shí)現(xiàn)數(shù)字函數(shù)的算法在數(shù)值是否穩(wěn)定。方法表明，盡管由于舍入誤差而導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果不完全正確，但這是一個(gè)精確的解決方案。 如果所需的擾動(dòng)小，按照輸入數(shù)據(jù)的不確定性的順序，則結(jié)果在某種意義上與數(shù)據(jù)“應(yīng)得的”一樣準(zhǔn)確。 然后將算法定義為向后穩(wěn)定。 穩(wěn)定性是對(duì)給定數(shù)值程序的舍入誤差敏感度的量度;；相比之下，給定問(wèn)題的函數(shù)的條件數(shù)表示函數(shù)對(duì)其輸入中的小擾動(dòng)的固有靈敏度，并且獨(dú)立于用于解決問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)。