軌跡交點法例題解析

【例1】 已知一邊及這邊上的中線和高，作三角形。

已知：線段a、m、h，求作：△ABC，使BC=a，中線AD=m，高AE=h。

分析：假設(shè)△ABC已作出，其中BC=a，中線AD=m，高AE=h，BC=a，如果A點可定，這個作圖題就可解，A點適合兩個條件：1．和BC的中點的距離等于m；2．和BC的距離等于h。若利用第一個條件，先放棄第二個條件，可得以BC的中點為圓心，m為半徑的圓；再利用第二個條件而放棄第一個條件，得出僅適合于第二個條件的點的軌跡，是和BC平行且距離等于h的兩條直線。所求的A點就是這兩個軌跡的交點(圖二) 。

作法：

1．作BC=a。

2．取BC的中點D，以D為圓心，m為半徑作圓。

3．作和BC平行并且距離等于h的直線交圓于A。

4．連結(jié)AB和AC。

△ABC就是所求作的三角形。

討論：

1.當(dāng)h>m時，兩個軌跡沒有交點，這時無解。

2.當(dāng)h=m時，兩個軌跡相切，有兩個切點，這時可以作出兩個三角形，但它們是全等的。

3.當(dāng)h。2100433B

軌跡交點法(method of intersection point of locus)是解作圖題的一種重要方法，解作圖題常歸結(jié)到確定某一點的位置，如果這個點的位置是由兩個條件確定的，先放棄其中一個條件，那么這個點的位置就不定而形成一個軌跡；若改換放棄另一個條件，這個點就在另一個軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交點，這種利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱為交軌法、軌跡交截法、軌跡法。用這種方法來作圖，稱為軌跡法作圖。

例如，設(shè)⊙O與⊙O′相離，半徑分別為R與R′，求作半徑為r的圓，使其與⊙O及⊙O′外切，該作圖題的思路要點是：設(shè)⊙M是合條件的圓，即其半徑為r并與⊙O及⊙O′外切(如圖一)，顯然，M點是由兩個軌跡確定的，即M點既在以O(shè)為圓心以R r為半徑的圓上，又在以O(shè)′為圓心以R′ r為半徑的圓上，因而所求圓的圓心位置可確定，于是該作圖題可以求解。若⊙O與⊙O′相距為b，當(dāng)2rb時，有兩解 。

軌跡交點法在作圖中應(yīng)用廣泛，凡屬作圖，幾乎沒有不用到它的。這是因為我們所使用的工具——直尺和圓規(guī)的作圖在本質(zhì)上就體現(xiàn)了求軌跡交點的作用。正因如此，軌跡交點法可說就是其他作圖方法的基礎(chǔ)。

有時欲確定的某一個點已明確指出系在某已知圖形上，那么只要求出一個軌跡就可以了，這種情形叫做單軌法。如果并未指出在某已知圖形上，需要求出兩個軌跡才能確定所求點的位置，這種情形叫做雙軌法。

能確定某一個點的軌跡常常有若干個，為使作圖簡捷，我們應(yīng)該注意選擇那些便于作出的軌跡 。

結(jié)點法

結(jié)點法—最適用于計算簡單桁架。

取結(jié)點為隔離體，建立（匯交力系）

平衡方程求解。原則上應(yīng)使每一結(jié)點只有兩根未知內(nèi)力

的桿件。

通常假定未知的軸力為拉力，計算結(jié)果得負(fù)值表示軸力為壓力。

結(jié)點法2100433B

軸心軌跡圖有原始、提純、平均、一倍頻、二倍頻、0.5倍頻等多種軸心軌跡，主要看提純、一倍頻、二倍頻的軸心軌跡圖。這是因為轉(zhuǎn)子振動信號中不可避免地包含了噪聲、電磁信號干擾等超高次諧波分量，使得軸心軌跡的形狀變得十分復(fù)雜，有時甚至是非常地混亂。而提純的軸心軌跡排除了噪聲和電磁干擾等超高次諧波信號的影響，突出了工頻、0.5倍頻、二倍頻等主要因素，便于清晰地看到問題的本質(zhì)；一倍頻軸心軌跡則可以更合理地看出軸承的間隙及剛度是否存在問題，因為不平衡量引起的工頻振動是一個弓狀回轉(zhuǎn)渦動，工頻的軸心軌跡就應(yīng)該是一個圓或長短軸相差不大的橢圓，而如果軸承間隙或剛度存在方向上的較大差異，那么工頻的軸心軌跡就會變成一個很扁、很扁的橢圓，從而把同為工頻的不平衡故障和軸承間隙或剛度差異過大很簡便地區(qū)別開來；二倍頻軸心軌跡則可以看出嚴(yán)重不對中時的影響方向等。

通過軸心軌跡圖，還可以判斷轉(zhuǎn)子的渦動是正進動、還是反進動。

角點法是矩形面積分布荷載作用時，應(yīng)用應(yīng)力迭加原理計算土中任意點豎向應(yīng)力的一種方法。用角點法求得矩形面積上均布垂直荷載下的地基附加應(yīng)力，通過分塊小矩形邊長的變化， 可以得到七種不同情形垂直條形均布荷載下的地基附加應(yīng)力。當(dāng)基底荷載為三角形分布荷載時，通過查表只能求得零角點下對應(yīng)的附加應(yīng)力。若計算點在荷載最大值角點處，可將三角形荷載分解成均布荷載和一個倒三角形荷載的疊加。

角點法求地基中附加應(yīng)力時，它只能通過查表求得一些特殊的荷載分布（如均布荷載、三角形荷載等）的角點處的附加應(yīng)力。但是，對于非角點處的附加應(yīng)力，以及其他類型的荷載分布（如梯形荷載等），角點法就不能求解了，這使得附加應(yīng)力的求解范圍變得很局限 。荷載連續(xù)作用，且大小各處相等，這種荷載稱為均布荷載。