歐拉回路

以下判斷基于此圖的基圖連通。

無向圖存在歐拉回路的充要條件

一個無向圖存在歐拉回路，當且僅當該圖所有頂點度數(shù)都為偶數(shù),且該圖是連通圖。

有向圖存在歐拉回路的充要條件

一個有向圖存在歐拉回路，所有頂點的入度等于出度且該圖是連通圖。

混合圖存在歐拉回路條件

要判斷一個混合圖G（V,E）（既有有向邊又有無向邊）是歐拉圖，方法如下：

假設(shè)有一張圖有向圖G'，在不論方向的情況下它與G同構(gòu)。并且G'包含了G的所有有向邊。那么如果存在一個圖G'使得G'存在歐拉回路，那么G就存在歐拉回路。

其思路就將混合圖轉(zhuǎn)換成有向圖判斷。實現(xiàn)的時候，我們使用網(wǎng)絡(luò)流的模型?，F(xiàn)任意構(gòu)造一個G'。用Ii表示第i個點的入度，Oi表示第i個點的出度。如果存在一個點k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在歐拉回路。接下來則對于所有Ii>Oi的點從源點連到i一條容量為(Ii-Oi)/2的邊，對于所有Ii 歐拉回路解法

無向圖歐拉回路解法

求歐拉回路的一種解法

下面是無向圖的歐拉回路輸出代碼：注意輸出的前提是已經(jīng)判斷圖確實是歐拉回路。

C語言代碼，不全，請不要直接粘貼。

intnum=0;//標記輸出隊列
intmatch[MAX];//標志節(jié)點的度，無向圖，不區(qū)分入度和出度
voidsolve(intx)
{
if(match[x]==0)
Record[num  ]=x;
else
{
for(intk=0;k<=500;k  )
{
if(Array[x][k]!=0)
{
Array[x][k]--;
Array[k][x]--;
match[x]--;
match[k]--;
solve(k);
}
}
Record[num  ]=x;
}
}

pascal代碼:

求無向圖的歐拉回路（遞歸實現(xiàn)）

programeuler;
constmaxn=10000;{頂點數(shù)上限}
maxm=100000;{邊數(shù)上限}
typetnode=^tr;
tr=record
f,t:longint;{邊的起始點和終止點}
al:boolean;{訪問標記}
rev,next:tnode;{反向邊和鄰接表中的下一條邊}
end;
varn,m,bl:longint;{頂點數(shù)，邊數(shù)，基圖的極大連通子圖個數(shù)}
tot:longint;
g:array[1..maxn]oftnode;
d:array[1..maxn]oflongint;{頂點的度}
fa,rank:array[1..maxn]oflongint;{并查集中元素父結(jié)點和啟發(fā)函數(shù)值}
list:array[1..maxm]oftnode;{最終找到的歐拉回路}
o:boolean;{原圖中是否存在歐拉回路}
procedurebuild(ta,tb:longint);{在鄰接表中建立邊(ta,tb)}
vart1,t2:tnode;
begin
t1:=new(tnode);
t2:=new(tnode);
t1^.f:=ta;
t1^.t:=tb;
t1^.al:=false;
t1^.rev:=t2;
t1^.next:=g[ta];
g[ta]:=t1;
t2^.f:=tb;
t2^.t:=ta;
t2^.al:=false;
t2^.rev:=t1;
t2^.next:=g[tb];
g[tb]:=t2;
end;
proceduremerge(a,b:longint);{在并查集中將a,b兩元素合并}
varoa,ob:longint;
begin
oa:=a;
whilefa[a]<>adoa:=fa[a];
fa[oa]:=a;
ob:=b;
whilefa[b]<>bdob:=fa[b];
fa[ob]:=b;
ifa<>bthenbegin
dec(bl);{合并后，基圖的極大連通子圖個數(shù)減少1}
ifrank[a]=rank[b]theninc(rank[a]);
ifrank[a]>rank[b]thenfa[b]:=aelsefa[a]:=b;
end;
end;
procedureinit;{初始化}
vari,ta,tb:longint;
begin
fillchar(fa,sizeof(fa),0);
fillchar(rank,sizeof(rank),0);
fillchar(d,sizeof(d),0);
readln(n,m);
fori:=1tondofa[i]:=i;
bl:=n;
fori:=1tomdobegin
readln(ta,tb);
build(ta,tb);
inc(d[tb]);
inc(d[ta]);
merge(ta,tb);
end;
end;
proceduresearch(i:longint);{以i為出發(fā)點尋找歐拉回路}
varte:tnode;
begin
te:=g[i];
whilete<>nildobegin
ifnotte^.althenbegin
te^.al:=true;
te^.rev^.al:=true;
search(te^.t);
list[tot]:=te;
dec(tot);
end;
te:=te^.next;
end;
end;
proceduremain;{主過程}
vari:longint;
begin
o:=false;
fori:=1tondo
ifd[i]=0thendec(bl);{排除孤立點的影響}
ifbl<>1thenexit;{原圖不連通，無解}
fori:=1tondo
ifodd(d[i])thenexit;{存在奇點，無解}
o:=true;
fori:=1tondo
ifd[i]<>0thenbreak;
tot:=m;
search(i);{從一個非孤立點開始尋找歐拉回路}
end;
procedureprint;{輸出結(jié)果}
vari:longint;
begin
ifnotothenwriteln('Nosolution.')elsebegin
writeln(list[1]^.f);
fori:=1tomdowriteln(list[i]^.t);
end;
end;
begin
init;
main;
print;
end.

注意record中的點的排列是輸出的倒序，因此，如果要輸出歐拉路徑，需要將record倒過來輸出。

求歐拉回路的思路：

循環(huán)的找到出發(fā)點。從某個節(jié)點開始，然后查出一個從這個出發(fā)回到這個點的環(huán)路徑。這種方法不保證每個邊都被遍歷。如果有某個點的邊沒有被遍歷就讓這個點為起點，這條邊為起始邊，把它和當前的環(huán)銜接上。這樣直至所有的邊都被遍歷。這樣，整個圖就被連接到一起了。

具體步驟：

1。如果此時與該點無相連的點，那么就加入路徑中

2。如果該點有相連的點，那么就加入隊列之中，遍歷這些點，直到?jīng)]有相連的點。

3。處理當前的點，刪除走過的這條邊，并在其相鄰的點上進行同樣的操作，并把刪除的點加入到路徑中去。

4。這個其實是個遞歸過程。

歐拉回路是數(shù)學(xué)家歐拉在研究著名的德國哥尼斯堡(Koenigsberg)七橋問題時發(fā)現(xiàn)的。如圖1所示，流經(jīng)哥尼斯堡的普雷格爾河中有兩個島，兩個島與兩岸共4處陸地通過7座楊 彼此相聯(lián)。7橋問題就是如何能從任一處陸地出發(fā)，經(jīng)過且經(jīng)過每個橋一次后回到原出發(fā)點。

這個問題可抽象為一個如圖2所示的數(shù)學(xué)意義上的圖，其中4個結(jié)點分別表示與4塊陸土Il 對應(yīng)，如結(jié)點C對應(yīng)河岸C，結(jié)點A對應(yīng)島A等，而結(jié)點之間的邊表示7座橋。

歐拉由此提出 了著名的歐拉定理。

1）歐拉路：通過圖中所有邊的簡單路。

2）歐拉回路：閉合的歐拉路。

3）歐拉圖：包含歐拉回路的圖。

18世紀，著名的數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)研究過摩擦力跟繩索繞在柱子上的圈數(shù)之間的關(guān)系。得出了著名的“歐拉韁繩理論”

歐拉─伯努利梁方程內(nèi)容描述了梁的位移與載重的關(guān)系：

歐西瑪F4全自動重布拉布機（鋪布機）

特長

無布停機，自動駛回定點。

五分鐘無使用時，自動關(guān)機。

緊急停止時，已下放布料不會拖拉。

流線外型、降低風阻、減少噪音、減低震動。

PLC觸控屏幕操作系統(tǒng)。

無張力式拉布作業(yè)。

簡化操作、提高生產(chǎn)效率、確保質(zhì)量。

可傾斜布槽，方便布料進出。

標準配備

拉布長度設(shè)定記憶裝置．拉布機之加減速度計算機控制

槽式自動追踨松布裝置

緊急停止裝置．自動上升裝置

依布寬設(shè)定裁刀行走距離．層數(shù)計數(shù)器

對邊裝置．切刀裝置

回裝置(卷支布料)

單側(cè)固定式移動折布器．雙拉用固定折布器

可傾斜布槽。

主要裝置

液晶觸控裝置：簡易設(shè)定拉布長度、方式、數(shù)量、速度及段落。

切刀裝置：切刀和主機可以簡單地進行拆裝，布料切斷時可以依布寬設(shè)定裁刀行走距離及切斷速度。

折布裝置：可作單向及往返拉布。

自動布料預(yù)松裝置：先松布再鋪放，消除拉布張力并保持拉布質(zhì)量的一致性。

電眼自動對邊裝置：在拉布順序運作過程中可以正確做到自動對邊。

布尾感應(yīng)器裝置：布料拉完時控制主機自動停止運作，并自動駛回固定點。

自動上升裝置：可依布料厚度設(shè)定上升量，配合拉布。

緊急停止裝置：于裁床兩側(cè)設(shè)有停機用鋼索，可隨時于裁床任何位置拉動鋼索作緊急停機。2100433B