曲線方程基本內(nèi)容

在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線 。

求曲線方程的步驟如下：

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）寫(xiě)出適合條件的p（M）的集合P={M|p(M)}；

（3）用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；

（4）化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；

（5）驗(yàn)證(審查)所得到的曲線方程是否保證純粹性和完備性。

這五個(gè)步驟可簡(jiǎn)稱為：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、驗(yàn)證 。

①直接法

②定義法

③相關(guān)點(diǎn)法

④向量

曲線：任何一根連續(xù)的線條都稱為曲線，包括直線、折線、線段、圓弧等。

按照經(jīng)典的定義，從(a,b)到R3中的連續(xù)映射就是一條曲線，這相當(dāng)于是說(shuō)：

（1）R3中的曲線是一個(gè)一維空間的連續(xù)像，因此是一維的 。

（2）R3中的曲線可以通過(guò)直線做各種扭曲得到 。

（3）說(shuō)參數(shù)的某個(gè)值，就是說(shuō)曲線上的一個(gè)點(diǎn)，但是反過(guò)來(lái)不一定，因?yàn)槲覀兛梢钥紤]自交的曲線 。

微分幾何就是利用微積分來(lái)研究幾何的學(xué)科，為了能夠應(yīng)用微積分的知識(shí)，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續(xù)曲線，因?yàn)檫B續(xù)不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。但是可微曲線也是不太好的，因?yàn)榭赡艽嬖谀承┣€，在某點(diǎn)切線的方向不是確定的，這就使得我們無(wú)法從切線開(kāi)始入手，這就需要我們來(lái)研究導(dǎo)數(shù)處處不為零的這一類曲線，我們稱它們?yōu)檎齽t曲線 。

正則曲線才是經(jīng)典曲線論的主要研究對(duì)象。

曲線是1-2維的圖形，參考《分?jǐn)?shù)維空間》。

處處轉(zhuǎn)折的曲線一般具有無(wú)窮大的長(zhǎng)度和零的面積，這時(shí)，曲線本身就是一個(gè)大于1小于2維的空間。

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加(或減)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式。

用字母表示為：若a=b，c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式。則：

(1)a c=b c

(2)a-c=b-c

基本性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)所得的結(jié)果仍是等式。

(3)若a=b,則b=a（等式的對(duì)稱性）

(4)若a=b,b=c則a=c（等式的傳遞性）

曲線方程方程的定義

含有未知數(shù)的等式叫方程。

曲線方程方程的分類

方程可分為：整式方程和分式方程。

整式方程：方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

曲線方程方程的相關(guān)術(shù)語(yǔ)

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。

解方程的依據(jù)：1.移項(xiàng)； 2.等式的基本性質(zhì)； 3.合并同類項(xiàng)； 4. 加減乘除各部分間的關(guān)系。

解方程的步驟：1.能計(jì)算的先計(jì)算； 2.轉(zhuǎn)化——計(jì)算——結(jié)果

例如： 3x=5*6

3x=30

x=30/3

x=10

移項(xiàng)：把方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)，根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。2100433B

粒度分布曲線是土壤最基本的土性參數(shù)之一，通過(guò)數(shù)學(xué)方程預(yù)測(cè)粒度分布曲線將為工程勘察節(jié)省大量成本。Fred?lund建立在Fredlund和Xing土水特征曲線方程基礎(chǔ)上的粒度分布曲線方程已被證明適用于多種土類，但其對(duì)中國(guó)黃土的有效性很少得到驗(yàn)證。

粒度分布曲線Fredlund粒度分布

Fredlund和Xing （1994） 土-水特征曲線方程是建立在孔徑分布基礎(chǔ)上的，假設(shè)土孔隙是一系列相互連通，隨機(jī)分布的孔隙，由毛細(xì)理論可知，土在脫濕過(guò)程中，水先從大孔徑孔隙排出，后從小孔徑孔隙排出，則土體積含水率公式中：θ（R）是孔徑小于R的孔隙都充滿水時(shí)的體積含水率，R_min為最小孔徑，f（R）為孔隙體積密度函數(shù)，r 為孔徑。

由于孔徑和吸力之間具有反比關(guān)系，即 r=C/ψ，土體積含水率公式中：C為常數(shù)，ψ為吸力，ψ_max 為對(duì)應(yīng)于最小孔徑的最大吸力，h為一個(gè)虛擬吸力變量。

由此而得的van Genuchten（1980）方程對(duì)應(yīng)的與吸力有關(guān)的孔隙體積密度函數(shù)公式中：考慮了土水特征曲線覆蓋整個(gè)吸力范圍，即0~10⁶kPa。a，m， n為擬合參數(shù)，e常數(shù)。

由Fredlund和Xing（1994）土-水特征曲線方程公式中：C（ψ）為調(diào)整函數(shù)；吸力很小時(shí)等于1，吸力為 10⁶kPa 時(shí)等于0；ψ_r等于殘余吸力值；θ_s等于飽和體積含水率。

土-水特征曲線能夠反映土體的孔徑分布特征，而粒度分布曲線反映的是土顆粒的大小，土顆粒體積與孔隙體積之和即為土體總體積，可以說(shuō)土水特征曲線和粒度分布曲線呈相反發(fā)展趨勢(shì)。Fredlund和Xing （1994） 在土水特征曲線方程基礎(chǔ)上提出了粒度分布曲線預(yù)測(cè)方程公式中：P_p（d）等于小于某一粒徑的顆粒所占百分比，a_gr，n_gr，m_gr為擬合參數(shù)，其意義與a，n，m在土水特征曲線上表示的物理意義相似，即都是控制曲線形狀的參數(shù)。d_rgr等于與細(xì)粒含量有關(guān)的參數(shù)，d_m為最小粒徑，d為粒徑。

粒度分布曲線黃土粒度曲線

采用Fredlund粒度分布曲線方程對(duì)這些黃土的粒度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，F(xiàn)redlund粒度分布曲線方程對(duì)中國(guó)黃土的粒度分布曲線擬合精度較高 （方差均小于 0.1），參數(shù)穩(wěn)定且呈規(guī)律性變化，能夠很好地反映中國(guó)黃土的地域性特點(diǎn)。

將各地區(qū)粒度分布曲線擬合參數(shù)取均值，F(xiàn)redlund粒度分布曲線方程中參數(shù)agr對(duì)應(yīng)Fredlund和Xing （1994） 土-水特征曲線方程中的參數(shù)a （與進(jìn)氣值有關(guān)，通常稍大于進(jìn)氣值），均反映了曲線的拐點(diǎn)位置。中國(guó)黃土粒度分布曲線參數(shù)a_gr從西北向東南呈下降趨勢(shì)。a_gr越小，粒度分布曲線重心越偏向左，即粒徑越小，級(jí)配越均勻，這和中國(guó)黃土粒徑的地域性特點(diǎn)一致，即從西北向東南，受風(fēng)力的搬運(yùn)作用，分選性越好。

參數(shù)m_gr控制曲線細(xì)粒段的坡度，m_gr越小，粒度分布曲線細(xì)粒段增長(zhǎng)越快，表明土體細(xì)粒含量越多。中國(guó)黃土粒度分布曲線參數(shù)n_gr從西北向東南表現(xiàn)出波動(dòng)且整體下降的趨勢(shì)，參數(shù)m_gr有微弱波動(dòng)，但變化趨勢(shì)不明顯，局部也見(jiàn)下降的趨勢(shì)。參數(shù)d_rgr被證明對(duì)粒度分布曲線的影響較小，但可以通過(guò)改變d_rgr來(lái)優(yōu)化預(yù)測(cè)結(jié)果。這說(shuō)明這些參數(shù)同樣具有地域性特點(diǎn)，得到的擬合參數(shù)即可用于各個(gè)地區(qū)的粒度分布曲線預(yù)測(cè)，各個(gè)參數(shù)的物理意義不僅能夠指導(dǎo)粒度分布曲線的預(yù)測(cè)，也對(duì)粒徑分析和土的分類具有指導(dǎo)意義。