曲線積分定義

設(shè)L為xOy平面上的一條光滑的簡(jiǎn)單曲線弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一點(diǎn)列

（上述定義并不完全嚴(yán)謹(jǐn)，給出新的定義）：在矢量場(chǎng)A中，任取一連接點(diǎn)P0與P1的光滑曲線c，此時(shí)向量OP0記作R0，向量OP1記作R1，用ΔR表示位于曲線C的切線上，以切點(diǎn)為始點(diǎn)而模

先看一個(gè)例子：設(shè)有一曲線形構(gòu)件占xOy面上的一段曲線 ，設(shè)構(gòu)件的密度分布函數(shù)為ρ(x,y)，設(shè)ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質(zhì)量；對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。

曲線積分分為：

（1）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 （第一類曲線積分）

（2）對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分（第二類曲線積分）

兩種曲線積分的區(qū)別主要在于積分元素的差別；對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的積分元素是弧長(zhǎng)元素ds；例如：對(duì)L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分的積分元素是坐標(biāo)元素dx或dy，例如：對(duì)L’的曲線積分∫P（x,y）dx Q(x,y)dy。但是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分由于有物理意義，通常說(shuō)來(lái)都是正的，而對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分可以根據(jù)路徑的不同而取得不同的符號(hào) 。

曲線積分積分聯(lián)系

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分是可以互相轉(zhuǎn)化的，利用弧微分公式

在曲線積分中，被積的函數(shù)可以是標(biāo)量函數(shù)或向量函數(shù)。積分的值是路徑各點(diǎn)上的函數(shù)值乘上相應(yīng)的權(quán)重（一般是弧長(zhǎng)，在積分函數(shù)是向量函數(shù)時(shí)，一般是函數(shù)值與曲線微元向量的標(biāo)量積）后的黎曼和。帶有權(quán)重是曲線積分與一般區(qū)間上的積分的主要不同點(diǎn)。物理學(xué)中的許多簡(jiǎn)單的公式（比如說(shuō)）在推廣之后都是以曲線積分的形式出現(xiàn)（

曲線積分量子力學(xué)

量子力學(xué)中的“曲線積分形式”和曲線積分并不相同，因?yàn)榍€積分形式中所用的積分是函數(shù)空間上的泛函積分，即關(guān)于空間中每個(gè)路徑的概率函數(shù)進(jìn)行積分。然而，曲線積分在量子力學(xué)中仍有重要作用，比如說(shuō)復(fù)圍道積分常常用來(lái)計(jì)算量子散射理論中的概率振幅。

曲線積分復(fù)分關(guān)系

如果將復(fù)數(shù)看作二維的向量，那么二維向量場(chǎng)的曲線積分就是相應(yīng)復(fù)函數(shù)的共軛函數(shù)在同樣路徑上的積分值的實(shí)部。根據(jù)柯西-黎曼方程，一個(gè)全純函數(shù)的共軛函數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)的旋度是0。

曲線積分應(yīng)用簡(jiǎn)介

在各種保守力的場(chǎng)都是路徑無(wú)關(guān)的，一個(gè)常見(jiàn)的例子就是重力場(chǎng)或電場(chǎng)。在計(jì)算這種場(chǎng)的做功時(shí)，可以選擇適當(dāng)?shù)穆窂竭M(jìn)行積分，使得計(jì)算變得簡(jiǎn)單。如：

第一型曲線積分具有下述一些重要性質(zhì) :

1)．若

2)．若曲線段

3)．若

4)．若

設(shè)有光滑曲線

設(shè)

設(shè)

對(duì)于一般維空間中曲線，可同樣給出定義。